Теорема Декарта про кола

Кривина кола — це k = 1/r. Для чотирьох взаємно дотичних кіл кривини задовольняють (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²). Маючи три дотичні кола, два розв'язки для четвертого: k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁) — одне коло вписане у криволінійний трикутник, інше охоплює решту.

Комплексна теорема Декарта (центри)

Розглядаючи центри як комплексні числа z = x + iy, та сама тотожність виконується для добутків kz: k₄z₄ = k₁z₁+k₂z₂+k₃z₃ ± 2√(k₁k₂z₁z₂ + k₂k₃z₂z₃ + k₃k₁z₃z₁). Це точно визначає положення кожного нового дотичного кола, тож ми можемо рекурсивно входити в кожну трійку взаємно дотичних кіл.

Цілочисельні (аполлонієві) сітки

Якщо перші чотири кривини цілі, то кожна кривина в сітці теж ціла — знамениті аполлонієві цілочисельні упаковки, як-от (−1, 2, 2, 3). Від'ємна кривина позначає зовнішнє обмежувальне коло, що містить решту.

Фрактальна розмірність

Сітка — справжній фрактал: розмірність Гаусдорфа множини її точок дотику ≈ 1.3057 незалежно від початкової конфігурації. Рекурсія тут зупиняється на заданій глибині чи мінімальному радіусі, щоб рендеринг лишався скінченним.