⭕ Гасок Аполлонія
Досліджуйте гасок Аполлонія — нескінченне фрактальне пакування взаємно дотичних кіл, побудоване рекурсивно за допомогою теореми кіл Декарта. Змінюйте глибину рекурсії та режим кольору, щоб побачити, як кривина формує візерунок.
Досліджуйте гасок Аполлонія — нескінченне фрактальне пакування взаємно дотичних кіл, побудоване рекурсивно за допомогою теореми кіл Декарта. Змінюйте глибину рекурсії та режим кольору, щоб побачити, як кривина формує візерунок.
Цей інструмент будує гасок Аполлонія — фрактальне пакування нескінченної кількості взаємно дотичних кіл. Починаючи з великого охоплюючого кола та трьох дотичних кіл, що заповнюють його, кожен залишковий проміжок рекурсивно заповнюється за допомогою теореми кіл Декарта, яка дає кривину та центр єдиного четвертого кола, дотичного до будь-яких трьох взаємно дотичних кіл. Результатом є самоподібний візерунок кіл, що зменшуються, який розкриває глибокі зв'язки між геометрією та теорією чисел.
Три взаємно дотичні кола всередині одного охоплюючого кола рекурсивно заповнюються новими дотичними колами. Кривина k4 кожного нового кола обчислюється за формулою k4=k1+k2+k3±2√(k1k2+k2k3+k3k1), а його центр — за відповідною комплексною формою. Кривина є від'ємною для охоплюючого кола, оскільки воно вигинається в протилежний бік відносно решти.
Пересувайте повзунок глибини рекурсії, щоб додати чи прибрати покоління кіл, перемикайте режим кольору між поколінням і кривиною та вмикайте автообертання, щоб обертати вигляд. Панель статистики відображає живу кількість кіл, а також найбільшу й найменшу кривини на поточній глибині.
Якщо початкові кривини є цілими числами, то й усі кола в усьому нескінченному гасконі також матимуть цілочисельну кривину — вражаючий результат, пов'язаний із квадратичними формами та теорією пакувань кіл Аполлонія в теорії чисел.
Гасок Аполлонія — це фрактал, який створюють, починаючи з трьох взаємно дотичних кіл усередині більшого охоплюючого кола, а потім знову й знову вписуючи нові кола, дотичні до кожної залишкової трійки, заповнюючи проміжки нескінченно. Це одна з найстаріших відомих фрактальних конструкцій, названа на честь давньогрецького геометра Аполлонія Перзького.
Теорема кіл Декарта пов'язує кривини (обернені величини радіусів) чотирьох взаємно дотичних кіл. Якщо k1, k2 і k3 — кривини трьох дотичних кіл, то четверте взаємно дотичне коло має кривину k4 = k1+k2+k3 плюс або мінус подвоєний квадратний корінь з (k1k2+k2k3+k3k1), що дає два можливі розв'язки для кожного проміжку.
Кривину визначають як обернену величину радіуса кола, але охоплююче коло огортає решту кіл, а не міститься всередині них. Щоб теорема працювала для обох випадків, охоплюючому колу надають від'ємну кривину, що змінює знакову угоду так, щоб формула все одно давала правильні дотичні кола.
Центр знаходять за допомогою комплексної версії теореми Декарта. Розглядаючи центр кожного кола як комплексне число та множачи його на кривину, зважений на кривину центр четвертого кола дорівнює сумі трьох інших зважених на кривину центрів плюс або мінус подвоєний квадратний корінь схожого перехресного виразу, після чого результат ділять на нову кривину.
Якщо перші чотири взаємно дотичні кола мають цілочисельні кривини, теорема Декарта гарантує, що кожне наступне коло, породжене рекурсивним процесом, також матиме цілочисельну кривину. Цей дивовижний факт пов'язує гаскони Аполлонія з теорією чисел, зокрема з арифметикою квадратичних форм і четвірок Декарта.