Funkcja Wignera W(x,p) to rozkład kwaziprawdopodobieństwa, który reprezentuje stan kwantowy w klasycznej przestrzeni fazowej (położenie x i pęd p). W przeciwieństwie do prawdziwego rozkładu prawdopodobieństwa może przyjmować wartości ujemne, a wszędzie tam, gdzie to się dzieje, jest to rygorystyczny sygnał prawdziwie nieklasycznego zachowania. Fizycy rekonstruują funkcje Wignera w laboratorium za pomocą tomografii stanu kwantowego, aby weryfikować źródła pojedynczych fotonów, charakteryzować światło ściśnięte oraz certyfikować jakość kubitów wykorzystywanych w fotonicznych komputerach kwantowych.
Próżnia: W = (1/π)·exp(−x²−p²)
Koherentny (amplituda α): W = (1/π)·exp(−(x−√2·Re α)²−(p−√2·Im α)²)
Fock n=1: W = (1/π)·(2(x²+p²)−1)·exp(−(x²+p²))
Kot Schrödingera: W = 1/(2π(1+e^(−2α²)))·[e^(−(x−√2α)²−p²) + e^(−(x+√2α)²−p²) + 2e^(−x²−p²)cos(2√2αp)]
Eugene Wigner przedstawił ten rozkład w 1932 roku, dziesiątki lat zanim ktokolwiek mógł go zmierzyć. Dopiero w latach 90. XX wieku, dzięki technikom takim jak optyczna tomografia homodynowa, fizykom udało się faktycznie zrekonstruować ujemną funkcję Wignera w laboratorium — bezpośredni eksperymentalny dowód na to, że światło może zachowywać się w sposób, w jaki żadna fala klasyczna nigdy by nie mogła.
Funkcja Wignera W(x,p) jest kwantowo-mechanicznym odpowiednikiem klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa w przestrzeni fazowej. Dla danego stanu kwantowego pokazuje "gęstość" tego stanu dla każdej kombinacji położenia x i pędu p. Pod wieloma względami zachowuje się jak rozkład prawdopodobieństwa — całkowanie po p daje gęstość prawdopodobieństwa położenia, a całkowanie po x daje gęstość prawdopodobieństwa pędu — ale może przyjmować wartości poniżej zera. Ta ujemność nie ma klasycznego odpowiednika i jest traktowana przez fizyków jako bezpośredni dowód kwantowej interferencji wewnątrz samego stanu.
Ta symulacja oblicza W(x,p) na siatce 100×100 w zakresie x,p ∈ [−4, 4] dla czterech standardowych stanów: gaussowskiej próżni, przesuwalnego stanu koherentnego, jednofotonowego stanu Focka oraz superpozycji dwóch stanów koherentnych — kota Schrödingera. Kolorowa mapa cieplna przechodzi od niebieskiego dla wartości ujemnych, przez biały przy zerze, do czerwonego/pomarańczowego dla wartości dodatnich, a wskaźnik "objętości ujemnej" jest obliczany na żywo poprzez numeryczne sumowanie ujemnej części siatki, Σ min(W,0)·Δx·Δp — ten sam rodzaj obliczeń stosowany w rzeczywistych laboratoriach optyki kwantowej podczas rekonstrukcji zmierzonego stanu za pomocą tomografii homodynowej.
Dlaczego funkcja Wignera może być ujemna, skoro reprezentuje prawdopodobieństwo?
W(x,p) jest rozkładem "kwaziprawdopodobieństwa", a nie prawdziwym rozkładem prawdopodobieństwa. Poprawnie odtwarza mierzalne prawdopodobieństwa położenia i pędu po scałkowaniu, ale położenia i pędu nie można zmierzyć jednocześnie w mechanice kwantowej, więc nic nie zabrania wspólnej wielkości przyjmować wartości ujemnych. Wszędzie tam, gdzie to się dzieje, sygnalizuje to, że stan nie ma klasycznego odpowiednika w przestrzeni fazowej.
Które stany w tej symulacji faktycznie stają się ujemne?
Stan próżni i stan koherentny są czystymi funkcjami Gaussa i pozostają dodatnie wszędzie — zachowują się jak klasyczne szumiące plamki. Stan Focka n=1 (pojedynczy foton) wyraźnie zapada się w ujemną wartość tuż przy początku układu współrzędnych, a stan kota Schrödingera tworzy oscylujący wzór prążków między swoimi dwiema listkami, oscylujący między wartościami dodatnimi i ujemnymi — obie te cechy są niepodważalnymi sygnaturami kwantowymi.
Czym sterują suwaki α_re, α_im oraz α?
Dla stanu koherentnego α_re i α_im to część rzeczywista i urojona zespolonej amplitudy α, które przesuwają plamkę gaussowską do punktu (√2·α_re, √2·α_im) w przestrzeni fazowej. Dla stanu kota Schrödingera pojedynczy suwak α określa, jak daleko od siebie znajdują się dwa nałożone listki stanów koherentnych wzdłuż osi x — większe α oznacza kota "bardziej makroskopowo odrębnego" i cieńsze prążki interferencyjne.
Eugene Wigner przedstawił ją w 1932 roku jako matematyczny most między mechaniką kwantową a klasyczną mechaniką statystyczną, mając nadzieję znaleźć kwantowe poprawki do wielkości termodynamicznych. Później stała się fundamentalnym narzędziem optyki kwantowej i informatyki kwantowej, wykorzystywanym za każdym razem, gdy fizycy potrzebują pełnego "obrazu" stanu kwantowego, a nie pojedynczej zmierzonej liczby.
Tak. Laboratoria optyki kwantowej rekonstruują funkcję Wignera impulsu światła za pomocą zrównoważonej detekcji homodynowej połączonej z algorytmem odwrócenia — procesu zwanego tomografią stanu kwantowego. Zmierzona ujemna funkcja Wignera jest uważana za mocny, bezpośredni dowód eksperymentalny, że źródło światła generuje prawdziwie nieklasyczne stany, takie jak pojedyncze fotony czy światło ściśnięte.
Wzór W = (1/π)(2(x²+p²)−1)·exp(−(x²+p²)) jest dokładnie równy zeru na okręgu x²+p² = 1/2 i ściśle ujemny wewnątrz niego. Fizycznie odzwierciedla to fakt, że pojedynczy foton ma zerowe prawdopodobieństwo znalezienia się "w spoczynku" w początku przestrzeni fazowej — jego kwantowa nieoznaczoność zmusza rozkład do zakrzywienia się poniżej zera dokładnie tam, gdzie klasyczna cząstka najbardziej oczekiwanie by przebywała.
Stan kota jest koherentną superpozycją, a nie mieszaniną, dwóch stanów koherentnych przy +α i −α. Funkcja Wignera superpozycji zawsze zawiera człon krzyżowy opisujący interferencję kwantową między dwoma składowymi; tutaj tym członem jest 2·exp(−x²−p²)·cos(2√2·αp), który oscyluje w p między dwoma listkami i to właśnie sprawia, że stan różni się od klasycznej mieszaniny 50/50.
W przybliżeniu tak. Całkowita objętość ujemna funkcji Wignera jest wykorzystywana przez badaczy jako jedna z praktycznych miar "kwantowości": jest dokładnie równa zeru dla każdego klasycznie zachowującego się stanu gaussowskiego (próżnia, koherentny, termiczny, ściśnięty), a rośnie co do wartości bezwzględnej dla stanów o subtelniejszej, delikatniejszej strukturze kwantowej — dlatego stan Focka i kot pokazują tutaj wyraźnie ujemny wskaźnik, podczas gdy próżnia i stan koherentny pozostają blisko zera.