Symulator wahadła skrętnego: pełna tarcza zawieszona na cienkim drucie skrętnym skręca się o pewien kąt i oscyluje z powrotem w stronę równowagi — to obrotowy odpowiednik tłumionego układu masa-sprężyna. Równanie ruchu to moment bezwładności razy przyspieszenie kątowe, plus tłumienie kątowe razy prędkość kątowa, plus stała skrętna razy kąt skręcenia, równa się zero. Dostosuj masę i promień tarczy, aby ustalić moment bezwładności, zmień stałą skrętną drutu oraz współczynnik tłumienia kątowego i obserwuj, jak układ przechodzi między zachowaniem podkrytycznym, krytycznie tłumionym i nadkrytycznym, podczas gdy okres własny, okres tłumiony i współczynnik tłumienia aktualizują się na żywo.
Wahadło skrętne to obrotowy odpowiednik dobrze znanego układu masa-sprężyna. Zamiast masy przesuwającej się po linii, na cienkim drucie zawieszona jest tarcza, która skręca się o kąt θ; zamiast sprężyny ściągającej ją z powrotem, sprężystość ścinania drutu wytwarza moment przywracający proporcjonalny do skręcenia. Równanie ruchu, I·θ″ + c·θ′ + κ·θ = 0, jest bezpośrednim odpowiednikiem liniowego oscylatora tłumionego m·x″ + b·x′ + k·x = 0: masa zamienia się w moment bezwładności I, liniowa stała sprężystości staje się stałą skrętną κ drutu, a tłumienie liniowe zamienia się w kątowy współczynnik tłumienia c, który modeluje tarcie wewnętrzne i opór powietrza działający na tarczę. Dla jednorodnej pełnej tarczy o masie M i promieniu R obracającej się wokół własnego środka, I = ½MR², więc cięższa lub szersza tarcza silniej opiera się przyspieszeniu kątowemu i przy tym samym drucie kołysze się wolniej.
W zależności od tego, jak silne jest tłumienie względem momentu przywracającego i bezwładności, pojawiają się trzy jakościowo różne zachowania, opisane przez bezwymiarowy współczynnik tłumienia ζ = c / (2√(Iκ)). Gdy ζ < 1, układ jest tłumiony podkrytycznie: oscyluje z tłumioną częstością kątową ωd = ω0√(1−ζ²), gdzie ω0 = √(κ/I) to własna częstość kątowa, a amplituda zanika wewnątrz eksponencjalnej obwiedni ±θ0·e^(−ζω0t). Gdy ζ = 1, układ jest tłumiony krytycznie, wracając do równowagi w najkrótszym możliwym czasie bez przeregulowania. Gdy ζ > 1, układ jest tłumiony nadkrytycznie, wolniej pełznąc z powrotem do zera, wciąż bez oscylacji. Ten symulator numerycznie całkuje dokładnie to samo równanie metodą Rungego-Kutty czwartego rzędu z małym stałym krokiem czasowym, więc każdy reżim — i przejście między nimi podczas przesuwania suwaka tłumienia — wynika bezpośrednio z fizyki, a nie z gotowej animacji. Prawdziwe wahadła skrętne pojawiają się w eksperymencie Cavendisha, który jako pierwszy zmierzył stałą grawitacji Newtona, w galwanometrach zwierciadlanych, w wagach skrętnych oraz w elementach rezonansowych niektórych czujników MEMS i zegarów mechanicznych.
Co właściwie pokazuje ta symulacja?
Pokazuje tarczę zawieszoną na drucie skrętnym, widzianą dokładnie z góry, która skręca się w przód i w tył po zwolnieniu z kąta początkowego. Promienista linia wskaźnika na tarczy uwidacznia obrót, a towarzyszący wykres przedstawia kąt skręcenia w funkcji czasu wraz z eksponencjalną obwiednią zaniku przewidzianą przez teorię, dzięki czemu widać, że animacja i matematyka są ze sobą zgodne.
Dlaczego tarcza oscyluje w przód i w tył, zamiast po prostu się zatrzymać?
Skręcenie drutu magazynuje w nim energię sprężystą, podobnie jak rozciągnięcie sprężyny. Po zwolnieniu ta zmagazynowana energia zamienia się w obrotową energię kinetyczną i popycha tarczę z powrotem poza położenie równowagi, gdzie drut skręca się w drugą stronę i cykl się powtarza. Tylko tarcie i opór powietrza, reprezentowane przez człon tłumienia, stopniowo odbierają energię układowi i doprowadzają oscylacje do spoczynku.
Czym fizycznie jest stała skrętna?
Stała skrętna κ to moment przywracający, jaki drut wywiera na jednostkę kąta skręcenia, wyrażony w niutonometrach na radian. Zależy ona od modułu ścinania drutu, jego długości oraz jego promienia podniesionego do czwartej potęgi, więc nawet niewielkie zmiany grubości drutu drastycznie zmieniają κ. Sztywniejszy lub krótszy drut ma większe κ i wytwarza szybszy, silniejszy moment przywracający.
Masa M i promień R ustalają moment bezwładności tarczy poprzez I = ½MR². Suwak stałej skrętnej κ ustala, jak mocno drut opiera się skręcaniu. Suwak tłumienia ustala kątowy współczynnik tłumienia c, który określa, jak szybko zanikają oscylacje. Suwak początkowego skręcenia ustala θ0, kąt, z którego tarcza jest zwalniana w chwili t = 0. Przycisk Zwolnij/Restart zeruje zegar, ustawiając tarczę w położeniu θ0 z zerową prędkością kątową.
Moment bezwładności mierzy, jak trudno jest zmienić prędkość obrotową ciała, podobnie jak masa mierzy, jak trudno jest zmienić jego prędkość liniową. Dla pełnej tarczy, I = ½MR², więc podwojenie masy tylko podwaja I, ale podwojenie promienia poczwórnia je, ponieważ masa oddalona od osi obrotu wnosi znacznie większy opór wobec przyspieszenia kątowego niż masa znajdująca się blisko niej. Dlatego szeroka, cienka tarcza zachowuje się zupełnie inaczej niż mała, gęsta tarcza o tej samej masie.
Współczynnik tłumienia ζ = c / (2√(Iκ)) porównuje rzeczywiste tłumienie z dokładnie taką wartością, przy której układ już ledwo nie oscyluje. Jeśli ζ jest mniejsze niż 1, tłumienie jest niewystarczające, by zapobiec przeregulowaniu, więc tarcza oscyluje z powoli malejącą amplitudą — jest to tłumienie podkrytyczne. Jeśli ζ równa się 1, tłumienie jest dokładnie wystarczające, aby tarcza wróciła do spoczynku najszybciej, jak to możliwe, bez żadnego przeregulowania — jest to tłumienie krytyczne. Jeśli ζ jest większe niż 1, tłumienie jest większe niż konieczne, a tarcza wraca do równowagi jeszcze wolniej, wciąż bez oscylacji — jest to tłumienie nadkrytyczne.
Okres własny T0 = 2π√(I/κ) to czas, jaki zajęłoby jedno pełne drganie, gdyby nie było żadnego tłumienia. Okres tłumiony Td = 2π/ωd, gdzie ωd = ω0√(1−ζ²), to rzeczywisty okres obserwowany, gdy tłumienie jest obecne, i jest on zawsze nieco dłuższy niż T0, ponieważ moment przywracający musi działać zarówno przeciwko tarciu, jak i bezwładności. W miarę wzrostu tłumienia w kierunku wartości krytycznej Td wydłuża się w stronę nieskończoności, a potem pojęcie okresu w ogóle przestaje mieć zastosowanie, dlatego panel telemetrii pokazuje „n/d”, gdy oscylacje ustają.
Układy tłumione podkrytycznie wracają szybko, ale przeregulowują i oscylują, tracąc czas na każdym przejściu przez zero. Układy tłumione nadkrytycznie nigdy nie przeregulowują, ale poruszają się ociężale, ponieważ duża siła tłumienia przeciwstawia się także użytecznej części ruchu. Tłumienie krytyczne leży dokładnie na granicy: zapewnia dokładnie tyle oporu, by zapobiec przeregulowaniu, jednocześnie umożliwiając najszybsze możliwe zbliżenie do równowagi, dlatego inżynierowie celowo projektują tłumiki — w domykaczach drzwi, układach zawieszenia i wskazówkach przyrządów — tak, by działały jak najbliżej wartości krytycznej.
Henry Cavendish użył wagi skrętnej do zmierzenia stałej grawitacji i w praktyce „zważenia Ziemi” w 1798 roku, a ta sama zasada leży u podstaw nowoczesnych wag skrętnych stosowanych w precyzyjnych eksperymentach grawitacyjnych. Galwanometry zwierciadlane wykorzystywały włókna skrętne do wykrywania znikomych prądów elektrycznych poprzez obrót lusterka, mechaniczne zegarki i zegary wykorzystywały koła balansowe i wahadła oparte na skręcaniu, a niektóre nowoczesne żyroskopy MEMS i czujniki rezonansowe opierają się na tej samej, modelowanej tutaj, fizyce obrotowego układu masa-sprężyna-tłumik.
Zmiana masy, promienia, stałej skrętnej, tłumienia lub kąta początkowego zmienia samo równanie różniczkowe leżące u podstaw symulacji — nowy moment bezwładności, nową częstość własną lub nowy współczynnik tłumienia. Zamiast wklejać zmienione równanie w trakcie trwającego ruchu, symulator zaczyna czysto od nowa od θ0 z zerową prędkością kątową, dzięki czemu widoczna trajektoria zawsze dokładnie odpowiada parametrom aktualnie pokazanym w panelu telemetrii.