Симулятор торсійного маятника: суцільний диск, підвішений на тонкій пружині кручення, закручується на певний кут і коливається, повертаючись до рівноваги — обертовий аналог демпфованої системи маса-пружина. Керівне рівняння: момент інерції, помножений на кутове прискорення, плюс кутове демпфування, помножене на кутову швидкість, плюс коефіцієнт кручення, помножений на кут закручення, дорівнює нулю. Налаштуйте масу та радіус диска, щоб задати момент інерції, змініть коефіцієнт кручення пружини та кутове демпфування — і спостерігайте, як система переходить між недодемпфованою, критично демпфованою та наддемпфованою поведінкою, поки природний період, демпфований період і коефіцієнт демпфування оновлюються в реальному часі.
Торсійний маятник — це обертовий близнюк звичної системи «маса на пружині». Замість маси, що ковзає по прямій, диск підвішено на тонкому дроті, і він закручується на кут θ; замість пружини, що тягне його назад, пружна деформація зсуву дроту створює відновлювальний момент, пропорційний куту закручення. Керівне рівняння, I·θ″ + c·θ′ + κ·θ = 0, — це пряма заміна змінних у лінійному демпфованому осциляторі m·x″ + b·x′ + k·x = 0: маса стає моментом інерції I, коефіцієнт жорсткості пружини стає коефіцієнтом кручення κ дроту, а лінійне демпфування стає кутовим коефіцієнтом демпфування c, який моделює внутрішнє тертя та опір повітря для диска. Для однорідного суцільного диска масою M і радіусом R, що обертається навколо власного центра, I = ½MR², тож важчий або ширший диск сильніше опирається кутовому прискоренню й коливається повільніше при тому самому дроті.
Залежно від того, наскільки сильне демпфування відносно відновлювального моменту та інерції, виникають три якісно різні поведінки, які описує безрозмірний коефіцієнт демпфування ζ = c / (2√(Iκ)). Коли ζ < 1, система недодемпфована: вона коливається з демпфованою кутовою частотою ωd = ω0√(1−ζ²), де ω0 = √(κ/I) — природна кутова частота, а амплітуда затухає всередині експоненційної оболонки ±θ0·e^(−ζω0t). Коли ζ = 1, система критично демпфована й повертається до рівноваги за найкоротший можливий час без перевищення. Коли ζ > 1, система наддемпфована й повільніше повзе до нуля, так само без коливань. Цей симулятор чисельно інтегрує те саме рівняння методом Рунге-Кутти четвертого порядку з малим фіксованим кроком за часом, тож кожен режим — і перехід між ними, коли ви пересуваєте повзунок демпфування, — виникає безпосередньо з фізики, а не з готової анімації. Реальні торсійні маятники трапляються в досліді Кавендіша, який першим вимірив гравітаційну сталу Ньютона, у дзеркальних гальванометрах, у крутильних вагах, а також у резонансних елементах деяких MEMS-датчиків і механічних годинників.
Що насправді показує ця симуляція?
Вона показує диск, підвішений на пружині кручення, знятий прямо згори, який коливається вперед і назад після звільнення з початкового кута. Радіальна вказівна лінія на диску робить обертання наочним, а супровідний графік малює кут закручення від часу поряд з експоненційною затухаючою оболонкою, передбаченою теорією, тож ви бачите, що анімація й математика узгоджуються.
Чому диск коливається вперед-назад, а не просто зупиняється?
Закручування дроту накопичує в ньому пружну енергію, так само як розтягування пружини. Після звільнення ця накопичена енергія перетворюється на обертову кінетичну енергію й проштовхує диск повз положення рівноваги, де дріт закручується в іншу сторону й цикл повторюється. Лише тертя й опір повітря, представлені членом демпфування, поступово забирають енергію із системи й зупиняють коливання.
Що таке коефіцієнт кручення фізично?
Коефіцієнт кручення κ — це відновлювальний момент, який дріт створює на одиницю кута закручення, у ньютон-метрах на радіан. Він залежить від модуля зсуву дроту, його довжини та радіуса в четвертому степені, тож навіть невеликі зміни товщини дроту сильно змінюють κ. Жорсткіший або коротший дріт має більше κ і створює швидший, потужніший відновлювальний момент.
Маса M і радіус R задають момент інерції диска через I = ½MR². Повзунок коефіцієнта кручення κ задає, наскільки сильно дріт опирається закручуванню. Повзунок демпфування задає кутовий коефіцієнт демпфування c, який визначає, як швидко затухають коливання. Повзунок початкового кута задає θ0 — кут, з якого диск звільняється в момент t = 0. Кнопка «Відпустити / Перезапуск» скидає час до нуля з диском, утримуваним у θ0 з нульовою кутовою швидкістю.
Момент інерції вимірює, наскільки важко змінити швидкість обертання тіла, так само як маса вимірює, наскільки важко змінити його прямолінійну швидкість. Для суцільного диска I = ½MR², тож подвоєння маси лише подвоює I, але подвоєння радіуса збільшує його вчетверо, бо маса, віддалена від осі обертання, дає набагато більший опір кутовому прискоренню, ніж маса близько до неї. Тому широкий тонкий диск поводиться зовсім інакше, ніж малий і щільний диск тієї самої маси.
Коефіцієнт демпфування ζ = c / (2√(Iκ)) порівнює фактичне демпфування з тим конкретним значенням, яке б рівно завадило системі коливатися. Якщо ζ менше за 1, демпфування недостатньо, щоб запобігти перевищенню, тож диск коливається з амплітудою, що повільно зменшується — недодемпфований режим. Якщо ζ дорівнює 1, демпфування рівно достатнє, щоб повернути диск у стан спокою якнайшвидше без будь-якого перевищення — критично демпфований режим. Якщо ζ більше за 1, демпфування більше за необхідне, і диск повзе до рівноваги ще повільніше, так само без коливань — наддемпфований режим.
Природний період T0 = 2π√(I/κ) — це час одного коливання без будь-якого демпфування. Демпфований період Td = 2π/ωd, де ωd = ω0√(1−ζ²), — це фактичний період, який спостерігається за наявності демпфування, і він завжди трохи довший за T0, бо відновлювальний момент має боротися і з тертям, і з інерцією. Зі збільшенням демпфування до критичного Td прямує до нескінченності, і тоді поняття періоду взагалі втрачає сенс, тому панель телеметрії показує «Н/Д», коли коливання зникають.
Недодемпфовані системи повертаються швидко, але перевищують і коливаються, втрачаючи час на кожен прохід повз нуль. Наддемпфовані системи ніколи не перевищують, але рухаються мляво, бо велика сила демпфування також протидіє корисній частині руху. Критичне демпфування лежить рівно на межі: воно дає рівно стільки опору, щоб запобігти будь-якому перевищенню, і водночас дозволяє найшвидше можливе наближення до рівноваги, тому інженери свідомо проєктують демпфери — у дверних закривачах, підвісках і приладових стрілках — якнайближче до критичного значення.
Генрі Кавендіш використав крутильні ваги, щоб вимірити гравітаційну сталу і фактично «зважити Землю» в 1798 році, і той самий принцип лежить в основі сучасних крутильних ваг, які використовують у точних гравітаційних експериментах. Дзеркальні гальванометри використовували торсійні волокна для виявлення крихітних електричних струмів через обертання дзеркала, механічні наручні годинники й годинники загалом використовували балансові колеса й маятники на основі кручення, а деякі сучасні MEMS-гіроскопи та резонансні датчики спираються на ту саму обертову фізику маса-пружина-демпфер, яку моделює цей симулятор.
Зміна маси, радіуса, коефіцієнта кручення, демпфування чи початкового кута змінює саме диференціальне рівняння — новий момент інерції, нову природну частоту або новий коефіцієнт демпфування. Замість того щоб вставляти змінене рівняння в рух, що вже триває, симулятор чисто перезапускається з θ0 і нульовою кутовою швидкістю, тож траєкторія, яку ви бачите, завжди точно відповідає параметрам, показаним у панелі телеметрії.