Devlog #80 – Fala 60: Oscylator Duffinga, Nauka o sieciach & Dyfuzja Turinga

Nowe symulacje

🌀 Oscylator Duffinga — Klasyczny chaos z nieliniową sprężyną sześcienną

Równanie

George Duffing (1918) wprowadził jeden z pierwszych celowo badanych oscylatorów nieliniowych, by modelować usztywniające się sprężyny w maszynach. Wersja wymuszona ma postać:

ẍ + δẋ + αx + βx³ = γ cos(ωt)

Człon sześcienny βx³ jest kluczową nieliniowością: dla β > 0 (usztywnienie) efektywna sztywność rośnie z amplitudą; dla β < 0 maleje. Siła wymuszająca γcos(ωt) nieustannie wprowadza energię, którą rozprasza tłumienie δẋ. Gdy wymuszenie i tłumienie są zrównoważone w reżimie nieliniowym, może pojawić się ruch chaotyczny.

Portret fazowy i przekroje Poincarégo

Symulacja uruchamia integrator RK4 z Δt = 0,005 i renderuje jednocześnie dwie wizualizacje:

• Portret fazowy (lewy) — Położenie x względem prędkości ẋ z zanikającym śladem 3000 punktów. Orbity okresowe pojawiają się jako zamknięte pętle; ruch chaotyczny wypełnia fraktalny obszar przestrzeni fazowej.
• Przekrój Poincarégo (czerwone kropki) — Stan (x, ẋ) jest próbkowany za każdym razem, gdy ωt mod 2π przechodzi przez zero, czyli raz na okres wymuszania T = 2π/ω. Dla orbity okresu 1 pojawia się jedna kropka; dla okresu n — n odrębnych kropek; dla chaosu — fraktalna chmura.
• Szereg czasowy (prawy) — x(t) pokazuje, czy ruch jest okresowy, quasi-okresowy czy aperiodyczny.

Reżimy presetów

• Chaos (α=−1, β=1, δ=0,3, γ=0,5, ω=1,0) — Klasyczny chaotyczny oscylator Duffinga z podwójną studnią, gęsty fraktalny przekrój Poincarégo i dodatni wykładnik Lapunowa.
• Okres-2 (γ=0,28, ω=1,2) — Rezonans subharmoniczny: dwie kropki Poincarégo, okres x(t) = 2T.
• Podwójna studnia (δ=0,5, γ=0,1) — Niskie wymuszenie; trajektoria osiada w jednej studni potencjału, pokazując stabilny cykl graniczny.
• Rezonans (α=1, β=0,1, δ=0,1) — Usztywniająca się sprężyna jednostudniowa blisko rezonansu; orbita okresowa o dużej amplitudzie.
• Tłumiony (α=1, β=0,5, δ=0,8) — Wysokie tłumienie; x(t) zanika do zera, potwierdzając stabilność x=0.

Detektor reżimu

Wartości x z przekroju Poincarégo z ostatnich 100 przecięć są gromadzone. Wariancja tego bufora klasyfikuje ruch: wariancja > 0,05 → Chaotyczny; wariancja > 0,01 → Okres-2+; w przeciwnym razie Okresowy. Małe próbki czynią tę heurystykę niedoskonałą, ale stabilizuje się ona niezawodnie w ciągu kilkuset okresów.

🌐 Nauka o sieciach — Trzy modele struktury grafów

Dlaczego topologia sieci ma znaczenie

Struktura sieci — który węzeł łączy się z którym — determinuje, jak informacja, choroba, wpływ lub awaria rozprzestrzeniają się w niej. Trzy modele oddają zasadniczo różne reżimy strukturalne:

• Erdős–Rényi G(N,p) — Każda para z N węzłów jest połączona niezależnie z prawdopodobieństwem p. Rozkład stopni jest podobny do rozkładu Poissona. Powyżej progu gigantycznej składowej p_c = 1/N nagle pojawia się jedna duża spójna składowa — przejście fazowe perkolacji.
• Barabási–Albert — Węzły dodawane pojedynczo; każdy nowy węzeł dołącza m krawędzi preferencyjnie do węzłów o wyższym stopniu ("bogaci się bogacą"). Generuje rozkład stopni typu prawa potęgowego P(k) ~ k^−3, zgodny z Internetem, sieciami cytowań i grafami społecznymi.
• Watts–Strogatz — Zaczynając od regularnej sieci pierścieniowej (każdy węzeł połączony z k najbliższymi sąsiadami), a następnie przełącza się każdą krawędź z prawdopodobieństwem β. Niskie β: wysokie klastrowanie, duża długość ścieżki (regularna). Wysokie β: niskie klastrowanie, mała długość ścieżki (losowa). Pośrednie β: wysokie klastrowanie, mała długość ścieżki — reżim "małego świata" zgodny z sieciami neuronowymi i sieciami energetycznymi.

Układ z siłami

Pozycje węzłów są obliczane przez lekki algorytm w stylu Fruchtermana-Reingolda, działający w każdej klatce animacji: siła odpychająca ∝ 1/d² odpycha wszystkie pary węzłów; przyciąganie sprężyste ∝ (d − 60) przyciąga połączone węzły do siebie; słaba grawitacja centralna ∝ 0,003 utrzymuje graf na ekranie. Tłumienie 0,88 stabilizuje układ. Węzły można przeciągać, by zakotwiczyć pozycje; puszczenie wznawia fizykę.

Panel statystyk

Obliczane po każdym przebudowaniu grafu: liczba węzłów, liczba krawędzi, średni stopień ⟨k⟩, globalny współczynnik klastrowania C, frakcja gigantycznej składowej i maksymalny stopień (rozmiar hubu dla sieci BA). Histogram rozkładu stopni na prawym panelu wykorzystuje logarytmiczną oś liczby, by ujawnić ogon rozkładu typu prawa potęgowego w trybie BA.

🔬 Dyfuzja Turinga — Jak Alan Turing wyjaśnił wzorce biologiczne

Praca z 1952 roku

W pracy "The Chemical Basis of Morphogenesis" (Philosophical Transactions of the Royal Society B, 1952), Alan Turing wykazał matematycznie, że jednorodna mieszanina dwóch reagujących substancji chemicznych — jednej (aktywatora), która wzmacnia własną produkcję, i drugiej (inhibitora), która tłumi aktywator i dyfunduje szybciej — może spontanicznie złamać symetrię przestrzenną i utworzyć stabilne wzorce periodyczne. Ta niestabilność Turinga jest obecnie uważana za wiodące teoretyczne wyjaśnienie ubarwienia sierści zwierząt, rozmieszczenia palców w rozwoju kończyn zarodkowych oraz rozmieszczenia mieszków włosowych.

Równania modelu Graya-Scotta

Symulacja implementuje wariant Graya-Scotta, który w przejrzysty sposób oddaje dynamikę aktywator-inhibitor:

∂U/∂t = Dᵤ ∇²U  −  UV²  +  F(1 − U)
∂V/∂t = Dᵥ ∇²V  +  UV²  −  (F + k)V

U to inhibitor (dostarczany z zewnątrz z szybkością F, zużywany przez reakcję UV²); V to aktywator (zużywany z szybkością k+F, wytwarzany autokatalitycznie poprzez UV²). Laplasjan ∇² jest dyskretyzowany na periodycznej siatce 256×256 za pomocą 5-punktowego szablonu. Krok metodą Eulera w przód z Δt = 1,0 jest stabilny dla używanych wartości współczynników dyfuzji.

Przestrzeń parametrów (F, k)

Niewielkie różnice w szybkości karmienia F i szybkości zabijania k dają jakościowo różne wzorce stanu ustalonego:

• Plamy (F=0,055, k=0,062) — Odizolowane plamy wysokiej aktywności V na tle niskiego V. Przypomina plamy zwierząt i ubarwienie lamparta.
• Paski (F=0,060, k=0,058) — Równoległe domeny paskowe. Blisko reżimów parametrów pasków zebry i znaczeń ryb.
• Labirynt (F=0,029, k=0,057) — Połączone labiryntowe kanały. Powszechne w pigmentacji muszli.
• Koral (F=0,037, k=0,060) — Ząbkowane, rozgałęzione struktury przypominające polipy koralowe.
• Mitoza (F=0,028, k=0,053) — Plamy, które samoreplikują się przez podział, naśladując podział komórki.

Kliknij w dowolnym miejscu na płótnie, aby wstrzyknąć zarodek wysokiego stężenia V. Zarodek wyzwala wzrost wzorca z tego miejsca — przydatne do obserwowania frontów inwazji wzorca.

Mapy kolorów i detekcja wzorców

Cztery mapy kolorów renderują pole V: Alien (zieleń/turkus/czerń podkreślające szczegóły w środkowym zakresie), Heat (czerń→czerwień→żółty), Mint (od ciemnej do jasnej zieleni), oraz Monochrome (skala szarości do publikacji). Klasyfikator typu wzorca oblicza średnie V i wykorzystuje heurystyki (F,k) do oznaczenia bieżącego reżimu.

Co dalej

Kandydaci do Fali 61 z kolejki obejmują dynamikę płynów lepkosprężystych, eksplorator reguł automatów komórkowych, interaktywny zespół podwójnych wahadeł pokazujący początek chaosu w różnych warunkach początkowych oraz narzędzia przetwarzania sygnałów (wizualizator DFT / STFT). Planujemy również funkcję kolekcji / zakładek, aby odwiedzający mogli tworzyć i udostępniać zestawy symulacji.