Devlog #79 – Fala 59: dziwne atraktory, wilk-owca i Kuramoto

Nowe symulacje

🌀 Dziwne atraktory — trójwymiarowa topologia chaosu

Co czyni atraktor „dziwnym"?

Dziwny atraktor to zbiór, ku któremu ewoluuje układ dynamiczny, ale w którym sąsiadujące trajektorie rozbiegają się wykładniczo — znak rozpoznawczy chaosu deterministycznego. Kluczowe własności to: (1) ograniczony ruch, (2) wrażliwość na warunki początkowe (dodatni wykładnik Lapunowa) oraz (3) struktura fraktalna (niecałkowity wymiar Hausdorffa).

Symulacja implementuje cztery klasyczne układy przy użyciu całkowania metodą Rungego-Kutty 4. rzędu (RK4). Punkty przechowywane są w cyklicznym buforze śladu i renderowane jako odcinki z przezroczystością alfa. Prosta projekcja perspektywiczna z dwoma kątami obrotu (rotX, rotY) pozwala na pełną eksplorację 3D poprzez przeciąganie myszą lub dotyk.

Cztery atraktory

• Lorenz (1963) — ẋ=σ(y−x), ẏ=x(ρ−z)−y, ż=xy−βz. Przy σ=10, ρ=28, β=8/3: motyl z wykładnikiem Lapunowa λ≈0,905 i wymiarem fraktalnym ≈2,06.
• Rössler (1976) — ẋ=−y−z, ẏ=x+ay, ż=b+z(x−c). Prostszy niż Lorenz; atraktor przypomina złożoną wstęgę. λ≈0,071 przy a=b=0,2, c=5,7.
• Thomas (1999) — ẋ=sin(y)−bx, i cyklicznie. Pojedynczy parametr b kontroluje dyssypację; przy b≈0,19 wyłaniają się trzy płaty o symetrii 3-krotnej.
• Halvorsen — cykliczne sprzężenie kwadratowe: ẋ=−ax−4y−4z−y². Tworzy elegancką strukturę potrójnej spirali o symetrii obrotowej 3-krotnej.

Tryby kolorystyczne

Trzy tryby ujawniają różną geometrię atraktora:

• Prędkość — odcień HSL odwzorowany na chwilową prędkość (wolno=niebieski, szybko=czerwony). Podkreśla obszary „szybkiego zagięcia" atraktora.
• Czas — odcień cyklicznie zmieniający się w sposób ciągły. Skuteczny w wykrywaniu przerw okresowości.
• Głębokość — odcień odwzorowany na współrzędną z śladu 3D. Ujawnia warstwowość topologiczną.

🐺 Drapieżnictwo wilk-owca — przestrzenna ekologia agentowa

Od równań różniczkowych do pojedynczych agentów

Klasyczne równania Lotki-Volterry opisują dynamikę drapieżnik-ofiara za pomocą gładkich równań różniczkowych. Ta symulacja zastępuje je pojedynczymi agentami na siatce 50×50, gdzie każda owca i wilk podejmują własne, lokalne decyzje w każdym takcie. Cykle w skali globalnej wyłaniają się z czysto lokalnych interakcji — żadne równanie nie koduje oscylacji wprost.

Reguły agentów

• Trawa odrasta ze stałym tempem w każdym takcie, ograniczona do 100 jednostek energii na komórkę.
• Owce wyczuwają pobliskie wilki (zasięg 5) i uciekają; w przeciwnym razie poruszają się losowym błądzeniem. Jedzą trawę na swojej bieżącej komórce, tracą 1 jednostkę energii/takt i rozmnażają się, gdy energia przekroczy próg (prawdopodobieństwo 4%/takt).
• Wilki wyczuwają pobliskie owce (zasięg 8) i poruszają się w stronę najbliższej; w przeciwnym razie poruszają się losowym błądzeniem. Zjadają jedną owcę na takt (jeśli znajdują się w tym samym miejscu), tracą 3 jednostki energii/takt i rozmnażają się przy 70 energii (prawdopodobieństwo 2,5%/takt).
• Agenci giną, gdy energia ≤ 0.

Wykres szeregu czasowego populacji zapisuje historię przez 350 taktów. Typowe zachowanie: owce przekraczają liczebność, gdy trawy jest pod dostatkiem → populacja wilków rośnie z opóźnieniem → populacja owiec się załamuje → wilki głodują → owce się odbudowują. Struktura przestrzenna tworzy ostoje — obszary, w których owce przetrwają fale wilków — co podtrzymuje cykle zamiast prowadzić do wymarcia.

🔄 Synchronizacja Kuramoto — przejście fazowe w sprzężonych oscylatorach

Model

Yoshiki Kuramoto (1975) zaproponował jeden z najbardziej eleganckich modeli w nauce o układach nieliniowych. Każdy oscylator i ma fazę φᵢ ∈ [0, 2π), która ewoluuje jako:

dφᵢ/dt = ωᵢ + (K/N) Σⱼ sin(φⱼ − φᵢ)

gdzie ωᵢ pochodzi z rozkładu Gaussa o rozrzucie σ, a K jest globalną siłą sprzężenia. Częstości własne są zamrożone (nieporządek wygaszony), więc bez sprzężenia każdy oscylator porusza się po prostu z częstością ωᵢ. Człon sprzężenia sin przyciąga każdy oscylator do faz jego sąsiadów.

Parametr porządku i przejście fazowe

Stopień synchronizacji mierzony jest zespolonym parametrem porządku:

r e^(iψ) = (1/N) Σⱼ e^(iφⱼ)     →     r ∈ [0, 1]

r = 0 oznacza, że fazy są rozłożone jednorodnie (niekoherentne); r = 1 oznacza, że wszystkie fazy są identyczne (pełna synchronizacja). Dokładne rozwiązanie Kuramoto dla lorentzowskiego rozkładu częstości daje krytyczne sprzężenie:

K_c = 2γ   (Lorentzian)    K_c ≈ 2σ√(2/π)  (Gaussian)

Poniżej K_c: r → 0 przy N → ∞ (faza niekoherentna). Powyżej K_c: r wzrasta w sposób ciągły od zera — przejście fazowe drugiego rodzaju. Symulacja wykorzystuje rozkład Gaussa i szacuje K_c ≈ 2σ jako szybki punkt odniesienia.

Spróbuj tego

• Zacznij od K=0 i obserwuj, jak fazy rozkładają się jednorodnie. Histogram jest płaski, r ≈ 1/√N (szum skończonego rozmiaru).
• Powoli zwiększaj K powyżej K_c ≈ 2σ. Obserwuj, jak r rośnie, a histogram tworzy pik — klaster zablokowanych oscylatorów.
• Kliknij Perturb, aby zaburzyć fazy i zobaczyć, jak szybko układ ponownie się synchronizuje.
• Zwiększ σ (rozrzut częstości), aby podnieść K_c — potrzeba wtedy większego sprzężenia, by pokonać nieporządek.

Zastosowania w świecie rzeczywistym

Synchronizacja typu Kuramoto występuje w biologii i inżynierii: komórki rozrusznika serca w węźle zatokowo-przedsionkowym, neuronalne oscylacje gamma w korze mózgowej, komórki zegara dobowego w jądrze nadskrzyżowaniowym, migające świetliki oraz stabilność sieci energetycznych prądu przemiennego. Uniwersalność tego modelu jest jednym z najbardziej uderzających faktów w nauce o układach złożonych.

Co dalej

Kandydaci do fali 60 obejmują: system reakcji-dyfuzji Turinga (odmienny od maszyny Turinga), solver płynu lepkosprężystego, zespół podwójnego wahadła pokazujący powstawanie chaosu oraz wizualizator nauki o sieciach dla grafów losowych/bezskalowych/małych światów. Rozważamy również dodanie funkcji „kolekcji", pozwalającej odwiedzającym zapisywać w zakładkach i udostępniać wyselekcjonowane zestawy symulacji.