Devlog #78 – Fala 58: Deska Galtona, reakcja BZ i maszyna Turinga

Nowe symulacje

🎯 Deska Galtona — rozkład dwumianowy i centralne twierdzenie graniczne

Maszyna losująca

Maszyna losująca Francisa Galtona (1889) jest fizyczną demonstracją centralnego twierdzenia granicznego. Kulki spadają z pojedynczego otworu na górze i napotykają n rzędów kołków. Przy każdym kołku kulka odchyla się w lewo z prawdopodobieństwem p lub w prawo z prawdopodobieństwem q = 1 − p. Jeśli policzymy liczbę odchyleń w prawo k, otrzymany rozkład jest dwumianowy:

P(k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)     k = 0, 1, ..., n

Średnia wynosi μ = n·p, a odchylenie standardowe σ = √(n·p·q). Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym, wraz ze wzrostem n ten rozkład dwumianowy zbiega do rozkładu normalnego N(np, npq) niezależnie od wartości p. Symulator pokazuje funkcję masy prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego jako przerywaną krzywą oraz gładkie przybliżenie normalne w kolorze turkusowym, obie aktualizowane na żywo w miarę spadania kulek.

Projekt symulacji

Kulki są animowane podczas przechodzenia przez siatkę kołków. Docelowy przedział każdej kulki jest wyliczany z góry w momencie pojawienia się na podstawie ciągu Bernoulliego, więc dokładnie odpowiada rozkładowi dwumianowemu. Lewy panel pokazuje animowaną kaskadę; prawy panel renderuje histogram liczby kulek w przedziałach w czasie rzeczywistym wraz z teoretyczną krzywą nałożoną na wykres.

• Liczba rzędów n: 4–16 (do 17 przedziałów)
• Prawdopodobieństwo p: 0,1–0,9 (dla rozkładów asymetrycznych)
• Tempo kulek: 1–20 kulek na klatkę animacji
• Statystyki na żywo: obserwowana średnia, obserwowane σ, teoretyczne σ
• Upuść od razu 100 kulek, aby szybko wypełnić histogram

🌀 Reakcja Biełousowa–Żabotyńskiego — automat komórkowy pobudliwego ośrodka

Chemia stojąca za spiralą

Reakcja Biełousowa–Żabotyńskiego to oscylujący układ chemiczny odkryty przez Borisa Biełousowa w 1951 roku (i niezależnie przez Anatola Żabotyńskiego w 1961 roku). Mieszanina kwasu malonowego, bromianu sodu i katalizatora cerowego lub ferroiny samoistnie oscyluje między stanem utlenionym a zredukowanym, wytwarzając koncentryczne fale barwne widoczne gołym okiem. Oregonator jest standardowym modelem kinetycznym, ale prostszy automat komórkowy oddaje istotę zjawiska.

Model Greenberga-Hastingsa

3-stanowy automat komórkowy pobudliwego ośrodka (Greenberg i Hastings, 1978) wykorzystuje trzy stany komórki:

• Spoczynek (0) — komórka staje się pobudzona, jeśli liczba pobudzonych najbliższych sąsiadów w 8-komórkowym sąsiedztwie Moore'a osiąga lub przekracza próg T.
• Pobudzenie (1) — komórka przechodzi w kolejnym kroku do stanu refrakcji. To „czoło fali".
• Refrakcja (2 … k) — komórka odlicza k kroków z powrotem do stanu spoczynku. To tworzy „ogon refrakcji", który uniemożliwia falom cofanie się i wymusza utrzymywanie się wzorów spiralnych lub koncentrycznych.

Początkowe asymetryczne zarodki tworzą pary fal spiralnych. Samoistne zapłony (z regulowaną częstością) generują z czasem nowe centra fal. Całe renderowanie wykorzystuje tablice pikseli ImageData dla wydajności, obsługując siatki do 300×300 przy 60 fps.

🖥️ Maszyna Turinga — obliczalność w widocznej postaci

Po co symulować maszynę Turinga?

Praca Alana Turinga z 1936 roku „On Computable Numbers" wprowadziła hipotetyczną maszynę, która odczytuje i zapisuje symbole na nieskończonej taśmie, komórka po komórce, korzystając ze skończonego zbioru reguł. Mimo swojej prostoty teza Churcha-Turinga głosi, że każdą efektywnie obliczalną funkcję można obliczyć za pomocą takiej maszyny. Wizualizacja wykonania krok po kroku sprawia, że abstrakcyjne pojęcia, takie jak stany akceptujące/odrzucające, zatrzymanie i funkcja przejścia, stają się konkretne i zrozumiałe.

Pięć wbudowanych programów

• Inkrementacja binarna — przeszukuje do końca, dodaje 1 z propagacją przeniesienia. Wejście 1011 → 1100.
• Dodawanie unarne — zastępuje separator + jedynką i usuwa końcową jedynkę. Wejście 111+11 → 11111.
• Sprawdzanie palindromu — oznacza i dopasowuje zewnętrzne znaki od zewnątrz do wewnątrz nad alfabetem {a, b}. Akceptuje abba, odrzuca abab.
• Kopiowanie ciągu — kopiuje ciąg unarny za separatorem: 111 → 1110111.
• 3-stanowy Zajęty Bobr — mistrzowski 3-stanowy BBM zapisuje 6 jedynek w 14 krokach przed zatrzymaniem. Start na pustej taśmie.

Wyświetlanie taśmy

Płótno renderuje przesuwane okno komórek taśmy wyśrodkowane na głowicy odczytu/zapisu. Aktywna komórka jest podświetlona fioletową poświatą; puste komórki pokazują symbol □. Tabela przejść przewija się, podświetlając regułę wykonaną w danym kroku. Wskaźnik głowicy zmienia kolor na zielony przy akceptacji, czerwony przy odrzuceniu.

Co dalej

Fala 59 będzie kontynuować rozszerzanie pokrycia w lukach kategorii. Priorytetowi kandydaci to rezonans stochastyczny (wzmocnione szumem wykrywanie sygnału w układach progowych), fale sprężyste (propagacja fal podłużnych i poprzecznych z odbiciem i interferencją) oraz wzrost komórek i morfogeneza (wzory Turinga w reakcji-dyfuzji napędzające różnicowanie komórek).