Fala 52: Ruina gracza, procesy stochastyczne i symetria K-krotna

Fala 52 w skrócie

🎲 Ruina gracza

Problem ruiny gracza pyta: gracz zaczyna z majątkiem W i stawia jedną jednostkę na raz, wygrywając z prawdopodobieństwem p i przegrywając z prawdopodobieństwem q = 1 − p. Gra kończy się, gdy majątek osiągnie cel T (wygrana) lub zero (ruina). Jakie jest prawdopodobieństwo ostatecznej ruiny?

Rozwiązanie analityczne

Dokładny wzór zależy od tego, czy gra jest uczciwa:

• Jeśli p ≠ 0,5:
  P(ruina | W) = [(q/p)^W − (q/p)^T] / [1 − (q/p)^T]
• Jeśli p = 0,5 (gra uczciwa):
  P(ruina | W) = (T − W) / T

Dla lekko niekorzystnej gry (np. ruletka kasynowa z p ≈ 0,4737), zaczynając od W = 50 z celem T = 100, prawdopodobieństwo ruiny przekracza już 98%. Asymetria jest ogromna nawet przy niewielkich odchyleniach od uczciwości.

Kryterium Kelly'ego

Kryterium Kelly'ego podaje ułamek stawki, który maksymalizuje długoterminowy wzrost majątku. Dla prostych zakładów o parzystych szansach:

Monte Carlo

Symulacja generuje jednocześnie do 200 niezależnych ścieżek błądzenia losowego. Ścieżki są kolorowane na czerwono, gdy trafiają w ruinę (majątek = 0), na zielono, gdy osiągają cel, oraz na fioletowo dla ścieżek wciąż w toku. Estymata Monte Carlo P(ruiny) szybko zbiega do wzoru analitycznego.

📈 Procesy stochastyczne i proces Wienera

Proces Wienera (standardowy ruch Browna) to ciągły w czasie proces losowy W(t) spełniający: W(0) = 0; przyrosty W(t) − W(s) są gaussowskie ze średnią 0 i wariancją t − s; przyrosty na nienachodzących na siebie przedziałach są niezależne. Jest to granica skalowania prostego błądzenia losowego i podstawowy budulec rachunku stochastycznego.

Cztery tryby procesów

1. Standardowy ruch Browna (proces Wienera)

SDE: dX = μ dt + σ dW — addytywny dryf plus szum gaussowski. Wariancja rośnie liniowo: Var[X(t)] = σ²t. Zacieniowane pasmo ufności pokazuje otoczkę ±1σ wokół teoretycznej ścieżki średniej.

2. Geometryczny ruch Browna (GBM — model akcji Black-Scholesa)

SDE: dS = μS dt + σS dW. Rozwiązaniem jest S(t) = S₀ exp((μ − σ²/2)t + σW(t)). Stopy zwrotu logarytmiczne mają rozkład normalny; ceny mają rozkład logarytmiczno-normalny i są zawsze dodatnie. To model leżący u podstaw wzoru wyceny opcji Blacka-Scholesa.

3. Proces Ornsteina-Uhlenbecka (powrót do średniej)

SDE: dX = κ(θ − X) dt + σ dW. Parametr κ kontroluje, jak szybko proces powraca do długoterminowej średniej θ. Wykorzystywany do modelowania stóp procentowych (model Vasička), cen surowców i odstępów międzyimpulsowych w neuronauce. Wariancja zbiega do σ²/(2κ) przy t → ∞.

4. Para skorelowanych ruchów Browna

Dwa arytmetyczne procesy BM współdzielące skorelowany szum: dW₂ = ρ dW₁ + √(1−ρ²) dZ, gdzie Z ⊥ W₁. Niebieskie ścieżki to X₁, a różowe to X₂. Korelacja ρ ∈ (−1, 1) kontroluje, jak ściśle są ze sobą powiązane — istotne przy modelowaniu skorelowanych aktywów w teorii portfela.

Biała ścieżka to średnia próbki ze wszystkich symulowanych ścieżek. Dla wszystkich trybów średnia zbiega do teoretycznej wartości oczekiwanej wraz ze wzrostem liczby ścieżek.

🔯 K-krotna symetria rotacyjna

Symetria rotacyjna rzędu K oznacza, że obiekt wygląda identycznie po obrocie o 360°/K. Grupą symetrii jest grupa cykliczna Cₖ. Gdy uwzględnione są też odbicia (tryb lustra), grupa staje się grupą diedryczną Dₖ, podwajając liczbę kopii.

Algorytm rysowania

Każdy segment pociągnięcia od (x₁, y₁) do (x₂, y₂) jest najpierw przesuwany do środka canvasu, a następnie rysowany K razy, przy czym każda kopia jest obrócona o k × 2π/K względem poprzedniej. W trybie diedrycznym dla każdego sektora dodawana jest kopia lustrzana (y → −y przed obrotem), dając łącznie 2K kopii.

Ponieważ pociągnięcia są akumulowane na trwałym, niewidocznym canvasie, szczegóły narastają stopniowo, tworząc wzory mandali i kalejdoskopu. Linie pomocnicze (delikatne podziały sektorów) aktualizują się w czasie rzeczywistym przy zmianie K.

Grupy tapetowe

Przyciski presetów odpowiadają czterem grupom tapetowym osiągalnym za pomocą czystej symetrii rotacyjnej na siatce:

• p1 — brak symetrii rotacyjnej (K = 1, tylko translacja)
• p2 — 2-krotna (180°) rotacja, symetria punktowa
• p4 — 4-krotna (90°) rotacja, sygnatura siatki kwadratowej
• p6 — 6-krotna (60°) rotacja, siatka heksagonalna — najczęstsza w islamskiej sztuce geometrycznej

Ukończone dzieło można zapisać jako bezstratny PNG za pomocą przycisku Zapisz PNG, który wywołuje bezpośrednie pobranie canvas → data-URL.

Co dalej

Kandydaci do Fali 53 z kolejki obejmują symulacje płynów (przejście laminarno-turbulentne, warstwa przyścienna), trójwymiarowe stadne zachowanie ławic ryb oraz generowanie islamskich wzorów geometrycznych. Kolejki biologii i fizyki są również dobrze zaopatrzone. Sugestie mile widziane przez stronę kontaktową.