Devlog #71 – Wave 51: Kafelki Truchet, prawo Benforda i przepływ w rurze

Wave 51 w skrócie

Kafelki Truchet — mozaiki z losowym ziarnem z czterech rotacji

Sébastien Truchet opisał w 1704 roku, jak pojedynczy kwadratowy kafelek z przekątną linią, umieszczony w czterech orientacjach, może wypełnić płaszczyznę ogromną różnorodnością wizualnie odmiennych wzorów. Nowoczesne uogólnienie pozwala współistnieć wielu typom kafelków, każdy wybierany niezależnie dla każdej komórki.

Symulator używa lekkiego generatora liniowego kongruentnego (LCG) z ziarnem ustawianym przez użytkownika, dzięki czemu każda mozaika jest w pełni odtwarzalna:

x_n+1 = (1664525 × x_n + 1013904223) mod 2³²

Dostępne są cztery wzory kafelków: gładkie łuki po przekątnej tworzące połączone krzywe w całej siatce; proste przekątne dające ostre linie zygzakowate; narożniki ćwierćokręgu tworzące tessellację płynnych pętli; oraz krzyże akcentujące czterokierunkowe skrzyżowania. Wszystkie cztery mogą być aktywne jednocześnie w jednej mozaice; każdy rysowany jest wywołaniami Canvas 2D arc i lineTo wewnątrz bloku transformacji save()/rotate()/restore().

Motywy kolorystyczne

Symulator zawiera cztery motywy: Classic (kremowe łuki na niemal-czarnym tle), Ocean (gradient turkusowo-koralowy), Forest (stonowane zielenie) i Neon (wysoko nasycone fluorescencje na niemal-czarnym tle). Każdy motyw definiuje zarówno kolor tła, jak i obrysu, więc zmiana motywu całkowicie przekształca charakter wizualny identycznego ziarna — pokazując, że wariacja estetyczna i struktura proceduralna są od siebie niezależne.

Prawo Benforda — anomalia pierwszej cyfry

Prawo Benforda mówi, że w wielu naturalnie występujących zbiorach danych liczbowych wiodąca cyfra d (1–9) pojawia się z prawdopodobieństwem:

P(d) = log₁₀(1 + 1/d)

Wynik jest sprzeczny z intuicją: cyfra 1 prowadzi w około 30,1% przypadków, podczas gdy cyfra 9 tylko w 4,6%. Prawo pojawia się zawsze, gdy zbiór danych obejmuje kilka rzędów wielkości i jest niezmienniczy względem skali — zmiana waluty, jednostek długości czy skali populacji nie zmienia rozkładu.

Wykrywanie oszustw testem χ²

Statystyka zgodności χ² porównuje obserwowaną częstość cyfry O_d z oczekiwaną liczbą Benforda E_d = N × P(d):

χ² = Σ_d=1⁹ (O_d − E_d)² / E_d

Przy 8 stopniach swobody wartość krytyczna przy α = 0,05 wynosi 15,51. Prawdziwe zbiory danych (populacje miast, długości rzek, magnitudy trzęsień ziemi, liczby Fibonacciego) są ściśle zgodne i dają małe wartości χ². Zbiór danych "Sfałszowane zeznania podatkowe" jest generowany z odchyleniem w stronę cyfr 5-7 i zawsze przekracza próg krytyczny — pokazując, dlaczego biegli księgowi sądowi używają testów Benforda jako pierwszego przesiewu anomalii.

Przepływ w rurze — profil Hagena-Poiseuille'a

W pełni rozwinięty przepływ laminarny przez rurę okrągłą o promieniu R, napędzany gradientem ciśnienia dP/dx, daje klasyczny paraboliczny profil prędkości wyprowadzony niezależnie przez Hagena (1839) i Poiseuille'a (1840):

u(r) = (R² − r²) / (4μ) × (−dP/dx)

gdzie μ to lepkość dynamiczna, a r to odległość radialna od osi rury. Maksymalna prędkość u_max = R²/(4μ) × (−dP/dx) występuje na osi, a natężenie przepływu objętościowego wynosi:

Q = πR⁴ / (8μ) × (−dP/dx)

Ta zależność czwartej potęgi od promienia to kluczowa obserwacja inżynierska: zmniejszenie promienia rury o połowę redukuje przepływ 16-krotnie przy tym samym gradiencie ciśnienia. Symulator pokazuje to bezpośrednio suwakiem promienia.

Liczba Reynoldsa i reżimy przepływu

Bezwymiarowa liczba Reynoldsa charakteryzuje równowagę między siłami bezwładności a lepkością:

Re = ρ u_avg D / μ

gdzie D = 2R to średnica, ρ to gęstość płynu, a u_avg = u_max/2. Poniżej Re ≈ 2100 przepływ jest laminarny, a profil paraboliczny obowiązuje dokładnie. Między 2100 a 4000 przepływ jest przejściowy; powyżej 4000 jest turbulentny, a płaski profil "rdzenia turbulentnego" zastępuje parabolę. Symulator renderuje odpowiedni kształt profilu i koloruje wskaźnik reżimu.

Gotowe płyny

Pięć gotowych płynów obejmuje zakres lepkości pięciu rzędów wielkości:

• Woda w 20 °C — μ = 1,0 mPa·s, punkt odniesienia.
• Powietrze w 20 °C — μ ≈ 0,018 mPa·s, bardzo niska lepkość, wysokie Re przy tej samej prędkości.
• Krew w 37 °C — μ ≈ 3 mPa·s, w rzeczywistości nienewtonowska, ale tu modelowana jako newtonowska; Re znacząco różni się w tętnicach i naczyniach włosowatych.
• Olej silnikowy (SAE 30) — μ ≈ 100 mPa·s, lepkość 100× wody; zawsze laminarny w normalnych warunkach.
• Miód — μ ≈ 10 000 mPa·s, skrajnie laminarny przepływ; skala prędkości wymaga bardzo wysokiego gradientu ciśnienia, by być widoczna.

Kolejne kroki

Wave 52 pójdzie dalej w stronę algorytmów i prawdopodobieństwa. Kandydaci obejmują kody korekcji błędów Hamminga (SECDED, dekodowanie syndromu), regresję do średniej (rozrzut dwuwymiarowy normalny i "klątwę Sports Illustrated") oraz cykliczne automaty komórkowe (powstawanie fal spiralnych z reguł progowych N-stanowych). Jak zawsze, sugestie przez stronę kontaktową są mile widziane.