Devlog #56 – Fala 36: Kolonia mrówek, Struktura pasmowa i Koło wodne Lorenza

Statystyki wydania

Nowe symulacje

Kolonia mrówek — notatki projektowe

Algorytm ACO

Optymalizacja mrówkowa to probabilistyczna metaheurystyka inspirowana stygmergicznym zachowaniem prawdziwych mrówek. Każda „mrówka” w symulacji buduje kompletną trasę przez wszystkie 16 miast, wielokrotnie wybierając kolejne miasto za pomocą selekcji ruletkowej ważonej przez:

• p(i → j) = τijα · ηijβ / ∑ τikα · ηikβ

gdzie τij to poziom feromonu na krawędzi (i, j), ηij = 1 / dist(i, j) to heurystyka (odwrotność odległości), a α i β to wagi kontrolowane przez użytkownika. Po zakończeniu tras przez wszystkie mrówki feromon paruje:

• τij ← (1 − ρ) · τij (z dolnym ograniczeniem 0.1, aby zapobiec wygaśnięciu)

a następnie każda mrówka osadza Q / tour_length na swoich krawędziach, nagradzając krótsze trasy. W ciągu 50–200 iteracji kolonia niezawodnie zbiega się do trasy bliskiej optymalnej.

Renderowanie feromonu

Krawędzie są rysowane z grubością i przezroczystością proporcjonalną do znormalizowanego poziomu feromonu t = τij / τmax: grubość linii = 0.5 + t × 3.5 px oraz alfa = t × 0.7 w kolorze szmaragdowym #10b981. Aktualna najlepsza trasa jest rysowana ponownie w każdej klatce jako jednolita linia #a7f3d0 o grubości 2, dzięki czemu zwycięska ścieżka jest natychmiast czytelna na tle słabo widocznego śladu feromonowego.

Sterowanie i statystyki

• Mrówki (10–120): wielkość kolonii na iterację.
• α (0.5–4): waga feromonu — wyższe wartości wzmacniają eksploatację istniejących śladów.
• β (0.5–5): waga heurystyki — wyższe wartości preferują zachłanne ruchy do najbliższego sąsiada.
• ρ (0.01–0.3): tempo parowania — wyższe wartości szybciej zapominają stare trasy.
• Q (10–200): siła osadzania — skaluje ilość feromonu na jednostkę długości.
• Szybkość (1–8×): liczba iteracji ACO na klatkę animacji.

Panel statystyk pokazuje długość najlepszej trasy (px), liczbę iteracji, bieżącą średnią długość trasy oraz procent poprawy względem początkowej losowej trasy.

Struktura pasmowa — notatki projektowe

Diagram E-k

Strefa Brillouina rozciąga się od −π/a do +π/a na osi k. Dla materiałów półprzewodnikowych symulacja rysuje dwa pasma walencyjne (ciężkich i lekkich dziur, oba parabole zakrzywiające się w dół od k=0) plus pasmo odszczepione spinowo, przesunięte −0.3 eV poniżej wierzchołka pasma walencyjnego. Dla materiałów o przerwie skośnej (Si, Ge) minimum pasma przewodnictwa jest przesunięte do k ≈ ±0.45π/a; dla GaAs o przerwie prostej minimum znajduje się przy k=0.

Fermiego-Diraca i domieszkowanie

Poziom Fermiego dla samoistnego półprzewodnika jest przypięty w pobliżu środka przerwy (E F = Eg/2). Suwak domieszkowania przesuwa go liniowo o ±0.4 eV: domieszkowanie „typu n” (+) podnosi E F w stronę pasma przewodnictwa, zwiększając koncentrację elektronów; domieszkowanie „typu p” (−) obniża go w stronę pasma walencyjnego, zwiększając koncentrację dziur. Panel Fermiego-Diraca wizualizuje f(E) = 1 / (1 + exp((E − E F) / k T)) jako krzywą w tym samym zakresie energii: przy 0 K jest to funkcja skokowa; przy 1000 K jest szeroko zaokrąglona.

Gęstość stanów

Panel gęstości stanów (DOS) po prawej stronie diagramu E-k pokazuje uproszczoną paraboliczną gęstość stanów na wycinek energii. Dla półprzewodników gęstość stanów pasma walencyjnego jest proporcjonalna do √(−E) poniżej 0 eV, a gęstość stanów pasma przewodnictwa jest proporcjonalna do √(E − Eg) powyżej Eg. Każdy piksel wiersza jest kolorowany zgodnie z obsadzeniem Fermiego-Diraca: stany obsadzone są niebieskie, puste są ciemnoczerwone, a rozmyty przejściowy region w pobliżu E F miesza się między nimi.

Koło wodne Lorenza — notatki projektowe

Równania ruchu

Lorenz (1963) wyprowadził swój słynny układ trzech równań różniczkowych, modelując konwekcję Rayleigha–Bénarda. Malkus i Howard (1972) pokazali, że te same równania opisują nieszczelne koło wodne: jeśli woda w kubełkach a_n i b_n to amplitudy Fouriera azymutalnego rozkładu masy, a x, y, z są odpowiednimi kombinacjami liniowymi, układ redukuje się dokładnie do:

• dx/dt = σ(y − x)
• dy/dt = x(r − z) − y
• dz/dt = xy − bz

gdzie x jest proporcjonalne do prędkości kątowej koła, y i z kodują asymetryczny rozkład wody. Całkowanie wykorzystuje metodę Rungego-Kutty czwartego rzędu przy dt = 0.005.

Reżimy atraktora

Układ ma trzy jakościowo różne reżimy w zależności od liczby Rayleigha r:

• r ≤ 1: pojedynczy punkt stały w początku układu — koło zawsze się zatrzymuje.
• 1 < r < 24.74: dwa stabilne nietrywialne punkty stałe — koło obraca się stabilnie w jednym kierunku.
• r > 24.74: atraktor chaotyczny — kierunek obrotu odwraca się nieprzewidywalnie, kreśląc dwupłatowego motyla na płaszczyźnie fazowej x–z.

Trzy przyciski presetów ustawiają odpowiednio r = 28 (chaotyczny), 14 (stabilne punkty stałe) i 24.7 (na granicy chaosu).

Wizualizacja koła wodnego

Dwanaście kubełków rozmieszczonych jest równomiernie na okręgu o promieniu 140 px. Każdy kubełek ma poziom napełnienia (0–1), przedstawiany jako niebieski łuk przycięty do koła kubełka. Przy każdym kroku całkowania woda kapie do kubełka najbliższego górnemu środkowi koła, podczas gdy wszystkie kubełki przeciekają proporcjonalnie do bieżącego poziomu napełnienia (naśladując prawdziwe dziury w kubełkach). Kąt obrotu koła zwiększa się o x × dt × 0.15 na każdy krok, więc kąt wizualny jest bezpośrednią całką zmiennej Lorenza x. Zielono-czerwony łuk wokół obwodu wskazuje bieżący kierunek obrotu (±x).

Tłumaczenia ukraińskie

Wszystkie trzy symulacje są dostępne po ukraińsku pod adresami /uk/ant-colony/, /uk/band-structure/ oraz /uk/lorenz-waterwheel/. Kluczowe przetłumaczone ciągi znaków obejmują:

• Kolonia mrówek: “Мурашина Колонія”, “Вага феромону”, “Вага відстані”, “Випаровування”, “Осадження”, “Новий граф”, “Скинути”.
• Struktura pasmowa: “Зонна структура”, “Валентна зона”, “Зона провідності”, “Заборонена зона”, “Рівень Фермі”, “Легування”, “Власний”.
• Koło wodne Lorenza: “Колесо Лоренца”, “Атрактор Лоренца”, “Число Релея”, “Пауза”/“Грати”, “Скинути”, “Хаотичний”.

Co dalej — zapowiedź Fali 37

Lista pomysłów wciąż rośnie. Kandydaci na Falę 37 to między innymi:

• Kompresja SVD — rozkład według wartości osobliwych zastosowany do kompresji obrazu; obserwuj, jak jakość rekonstrukcji poprawia się wraz ze wzrostem rzędu (algebra liniowa / przetwarzanie sygnałów).
• Z-pinch — samosprężająca się kolumna plazmy pod wpływem samogenerowanego pola magnetycznego; wizualizuj niestabilność Rayleigha–Taylora (fizyka plazmy).
• Powierzchnia energii potencjalnej — dwuwymiarowa mapa konturowa molekularnego krajobrazu energii potencjalnej z optymalizacją ścieżki reakcji (chemia fizyczna / chemia obliczeniowa).

Wszystkie symulacje z Fali 37 wyjdą ze stronami EN i UK w dniu premiery.