Fala 28: Ekranowanie Debye'a, aktualizacja bayesowska i Fabry–Pérot

Statystyki platformy

Fala 28 w skrócie

Ekranowanie Debye'a

W plazmie swobodne elektrony gromadzą się wokół dodatnich ładunków testowych i eksponencjalnie tłumią pole elektrostatyczne poza długością Debye'a:

λ_D = √(ε₀ k_B T / n e²)     φ(r) = Ze/(4πε₀r) · exp(−r/λ_D)

Symulacja oferuje trzy uzupełniające się widoki:

• Profil potencjału — nałożenie w skali logarytmicznej ekranowanego potencjału Yukawy na goły Coulomb 1/r, z zaznaczeniem λ_D.
• Chmura ekranowania — 2D mapa kolorów ImageData przedstawiająca φ(r) w przekroju poprzecznym. Ciepły bursztyn → wysoki potencjał, ciemny błękit → pełne ekranowanie.
• Sfera Debye'a — schemat pokazujący promień λ_D, populację punktów elektronów (ograniczoną do 120 dla wydajności) i sprawdzenie ważności N_D ≫ 1.

Kontrolki eksponują log₁₀ n (m⁻³), temperaturę T w eV i ładunek Z. Pasek informacyjny podaje λ_D w jednostkach SI (pm → µm w zależności od gęstości), N_D, ω_p oraz parametr sprzężenia Γ = e²/(4πε₀ a k_BT), gdzie a = n^−1/3.

Aktualizacja bayesowska

Model Beta-dwumianowy to podręcznikowa para koniugatywna do wnioskowania o proporcji. Wybierz rozkład wcześniejszy Beta(α, β) — kodujący α pseudo-orłów i β pseudo-reszek zaobserwowanych przed eksperymentem — a następnie rzuć monetą, której prawdziwe obciążenie p ustawia suwak (ukryty przed „bayesistą”). Po k orłach w n rzutach rozkład a posteriori jest analityczny:

A posteriori = Beta(α + k,  β + n − k)

Canvas nieprzerwanie kreśli oba rozkłady, z bursztynową linią dla prawdziwego p i turkusowym 95% przedziałem wiarygodności obliczanym za pomocą uregularyzowanej niepełnej funkcji Beta (ułamek łańcuchowy Lentza, 80-iteracyjna bisekcja dla kwantyli). Cztery prędkości rzutów i 500-wpisowy kolorowy log rzutów pozwalają łatwo dostrzec zbieżność.

Interferometr Fabry–Pérota

Etalon Fabry–Pérota to para równoległych, częściowo odbijających luster oddzielonych odległością d. Światło odbite tam i z powrotem interferuje konstruktywnie tylko wtedy, gdy faza obiegu δ = 4πnd·cos(θ)/λ jest wielokrotnością 2π, tworząc ostre piki rezonansowe opisane funkcją Airy'ego:

T(λ) = 1 / (1 + F · sin²(δ/2))    F = 4R/(1−R)²

Symulacja wizualizuje widmo transmisji, wolny zakres spektralny FSR = λ²/(2nd) oraz finezję ℱ = π√R/(1−R), która określa ostrość pików. Suwaki pozwalają przemiatać odbijalność luster R, długość wnęki d, współczynnik załamania n i kąt padania θ, by bezpośrednio obserwować, jak każdy z nich wpływa na strukturę rezonansową.

Notatki inżynierskie

Ekranowanie Debye'a: formatowanie wartości świadome SI

Gęstość plazmy rozciąga się od wyładowań laboratoryjnych (~10²⁰ m⁻³) po wnętrza gwiazd (~10³² m⁻³), więc długość Debye'a waha się od mikrometrów do femtometrów. Zamiast wypisywać surową notację naukową, lekka procedura fmtSI(v, unit) mapuje prefiks SI (f, p, n, µ, m, k, M, …) automatycznie, obliczając floor(log10(v)/3). Generator pseudolosowy Mulberry32 z ziarnem zapewnia, że punkty elektronów w widoku sfery Debye'a są powtarzalne przy zmianach suwaków.

Aktualizacja bayesowska: niepełna Beta przez ułamek łańcuchowy Lentza

Obliczenie 95% przedziałów wiarygodności wymaga odwrotnej uregularyzowanej niepełnej funkcji Beta I_x(a, b). Bezpośrednia dystrybuanta wykorzystuje zmodyfikowany ułamek łańcuchowy Lentza (200 iteracji, próg zbieżności 10⁻¹²), z użyciem standardowej tożsamości symetrii I_x(a,b) = 1 − I_1−x(b,a) do wyboru numerycznie stabilniejszej gałęzi. Kwantyl jest rozwiązywany bisekcją nad I_x (80 iteracji, zbiega do 8 cyfr znaczących na przedziale jednostkowym). Ewaluator logGamma używa 7-wyrazowego przybliżenia Lanczosa, obsługując α, β do 0,5 bez przepełnienia.

Fabry–Pérot: płynne renderowanie finezji dla wszystkich R

Przy wysokiej odbijalności (R → 0,99) piki Airy'ego stają się niezwykle wąskie (ℱ → 300). Wierne ich wyrenderowanie wymaga co najmniej ~20 punktów próbkowania na pik. Symulacja adaptacyjnie zwiększa rozdzielczość długości fali w pobliżu pików przez wstępne próbkowanie z grubą rozdzielczością, zlokalizowanie minimów (1 − T), a następnie wstawianie uściślonych podpróbek między sąsiednimi minimami. Utrzymuje to całkowitą liczbę ewaluacji poniżej 2000 nawet przy maksymalnej finezji, mieszcząc się w pojedynczej klatce animacji.

Co dalej — zapowiedź Fali 29

Planowane tematy na Falę 29:

• Wizualizator szeregu Taylora — interaktywna animacja przybliżenia wielomianowego N-tego rzędu dla sin, cos, exp, ln, z pasmem błędu
• Neuron Hodgkina–Huxleya — model oparty na przewodnictwie, potencjał czynnościowy, zmienne bramkujące m/h/n, całkowanie ODE metodą Eulera
• Przejście fazowe w modelu Isinga — 2D Monte Carlo Metropolisa-Hastingsa, spontaniczna magnetyzacja, temperatura krytyczna T_c = 2J/k_B ln(1+√2)

Wszystkie symulacje z Fali 29 wyjdą ze stronami EN + UK w dniu premiery.