Fala 27: Tunelowanie Kwantowe, Wirowość Płynu i Teoria Gier

⛛️ Tunelowanie Kwantowe — równanie Schrödingera i T(E)

Cząstka kwantowa napotykająca klasycznie zabronioną barierę potencjału ma niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia się po drugiej stronie. Ta symulacja rozwiązuje jednowymiarowe, niezależne od czasu równanie Schrödingera dokładnie metodą macierzy transferu (TMM), obliczając współczynnik transmisji T(E) oraz pełny profil funkcji falowej |ψ|² przez barierę w czasie rzeczywistym w miarę przesuwania suwaków.

Trzy tryby

• Bariera prostokątna — kanoniczny przypadek z wykładniczym zanikiem wewnątrz
• Podwójna bariera — tunelowanie rezonansowe: T = 1 przy dyskretnych energiach (podstawa diody tunelowej)
• Potencjał schodkowy — odbicie kwantowe nawet powyżej schodka

Metoda macierzy transferu

Dla każdego kawałkowo-stałego obszaru potencjału V_i i szerokości d_i funkcja falowa wynosi ψ_i(x) = A_i e^ik_ix + B_i e^−ik_ix gdzie k_i = √(2m(E−V_i)/ℏ²) (rzeczywiste, jeśli E > V_i, urojone dla tunelowania). Warunki brzegowe (ciągłość ψ i ψ′) na każdej granicy są kodowane jako macierz 2×2. Całkowita macierz transferu M = M_N … M₁ daje t = 1/M₀₀ oraz r = M₁₀/M₀₀.

Panel krzywej T(E) skanuje 400 punktów energii od 0 do 2V₀ przy każdej zmianie parametru. Dla przypadku podwójnej bariery piki rezonansowe (T = 1) są widoczne przy dyskretnych wartościach własnych studni kwantowej utworzonej między dwiema barierami — ta sama fizyka, która sprawia, że działają rezonansowe diody tunelowe (RTD).

🌊 Wirowość Płynu i niestabilność Kelvina-Helmholtza

Umieść N wirów punktowych w linii wzdłuż interfejsu ścinania i obserwuj, jak zwijają się w charakterystyczne spirale — niestabilność Kelvina-Helmholtza (KH). To jedno z najbardziej uniwersalnych zjawisk w dynamice płynów: ten sam mechanizm zwijania tworzy fale chmur, warstwy mieszania oceanicznego, strumienie korony słonecznej i turbulencję brzegową w dyskach akrecyjnych wokół czarnych dziur.

Fizyka: Biot-Savart dla wirów punktowych

Ciągły arkusz wirowy o wirowości powierzchniowej ω(x) jest przybliżany przez N dyskretnych wirów punktowych o cyrkulacji Γ. Indukowana prędkość w wirze i od wszystkich pozostałych wirów j podąża za dwuwymiarowym prawem Biota-Savarta (regularyzowanym skończonym rdzeniem ε, aby zapobiec numerycznemu wybuchowi przy bliskich spotkaniach):

Całkowanie wykorzystuje schemat Eulera w przód (regulowany krok dt). Każda klatka animacji przesuwa się o 3 podkroki dla płynnego wizualnego zwijania. Ślady wirów (bufor pierścieniowy 45 klatek) śledzą ścieżki Lagrange'a, czyniąc zwijanie spiralne wizualnie uderzającym. Rzadka nakładka pola prędkości (przerysowywana co 3 klatki) pokazuje indukowany wzór przepływu.

Trzy warunki początkowe

• Pojedyncza warstwa — N dodatnich wirów wzdłuż y = 0,5 z zaburzeniem sinusoidalnym + losowym → klasyczne zwijanie KH
• Podwójna warstwa — przeciwbieżny rząd powyżej → ulica wirowa Kármána
• Losowe wiry — chaotyczna mieszanka wirów ±Γ → interakcja podobna do turbulentnej

🤝 Ewolucyjna Teoria Gier — Dylemat Więźnia

Przestrzenna symulacja ewolucyjna iterowanego Dylematu Więźnia na siatce 2D. Każda komórka przyjmuje jedną z pięciu strategii — ALL-D (zawsze zdradzaj), ALL-C (zawsze współpracuj), Wet za wet (TFT), Grim Trigger (GRIM) i RAND — i konkuruje ze swoimi ośmioma sąsiadami. Po każdej generacji każda komórka kopiuje strategię swojego najbardziej udanego sąsiada. Mutacja wprowadza losowe zmiany strategii.

Macierz wypłat (standardowy Dylemat Więźnia)

Struktura przestrzenna jest kluczowa: w dobrze wymieszanej populacji ALL-D zawsze wygrywa. Ale na siatce klastry TFT i GRIM mogą oprzeć się inwazji, formując bloki kooperacyjne, gdzie zdrajcy są karani przez sąsiadów. To odkrycie Nowaka i Maya z 1992 roku (Nature 359:826), że sama struktura przestrzenna może podtrzymać współpracę bez selekcji krewniaczej czy powtarzanej interakcji na poziomie populacji.