Teoria gier: nauka o współpracy i zdradzie

W 1994 roku John Forbes Nash Jr. otrzymał Nagrodę Nobla im. Alfreda Nobla w dziedzinie ekonomii za pracę, którą ukończył w 1950 roku jako 21-letni doktorant. Jego 28-stronicowa rozprawa doktorska wprowadziła pojęcie — to, co dziś nazywamy równowagą Nasha — które na nowo ukształtowało ekonomię, biologię ewolucyjną, politologię i informatykę. Film z 2001 roku Piękny umysł dramatyzował jego historię, ale nie zdołał w pełni oddać, co czyniło jego odkrycie tak przełomowym: pokazał on, że racjonalne dążenie do własnego interesu wcale nie musi przynosić dobrych rezultatów, i że pogoń za indywidualną korzyścią może uwięzić całe populacje w zbiorowo katastrofalnych stanach.

Teoria gier to matematyczne studium interakcji strategicznych — sytuacji, w których wynik dla każdego uczestnika zależy od wyborów wszystkich pozostałych. Nie chodzi tu o gry w potocznym sensie. Chodzi o każdą sytuację, w której podmioty o potencjalnie sprzecznych interesach muszą podejmować decyzje, których konsekwencje są od siebie wzajemnie zależne. Ten opis obejmuje wyścigi zbrojeń między supermocarstwami, konkurencję cenową między firmami, konkurencję ewolucyjną między organizmami, negocjacje między ludźmi oraz codzienne problemy koordynacji ruchu drogowego, wykorzystania zasobów i współpracy społecznej.

Dylemat więźnia: egoizm kontra współpraca

Żaden eksperyment myślowy w teorii gier nie jest równie znany ani równie pouczający jak dylemat więźnia. Sformułowany przez Merrilla Flooda i Melvina Dreshera w RAND w 1950 roku i ubrany w swoją kanoniczną narracyjną formę przez Alberta Tuckera, uchwytuje on fundamentalne napięcie między racjonalnością indywidualną a zbiorową.

Dwoje podejrzanych — nazwijmy ich Alicja i Bob — zostaje aresztowanych i przesłuchiwanych w osobnych pokojach. Żadne z nich nie może się porozumieć z drugim. Każde staje przed wyborem: współpracować (milczeć, chroniąc drugą osobę) lub zdradzić (wydać drugą osobę władzom). Wypłaty przedstawiają się następująco:

	Bob współpracuje	Bob zdradza
Alicja współpracuje	1 rok każde	Alicja: 3 lata  |  Bob: wolny
Alicja zdradza	Alicja: wolna  |  Bob: 3 lata	2 lata każde

Prześledźmy teraz rozumowanie Alicji. Jeśli Bob współpracuje, Alicja dostaje 1 rok za współpracę albo 0 lat za zdradę — więc zdrada jest lepsza. Jeśli Bob zdradza, Alicja dostaje 3 lata za współpracę albo 2 lata za zdradę — więc zdrada znów jest lepsza. Zdrada jest strategią dominującą Alicji: daje jej lepszy wynik niezależnie od tego, co zrobi Bob. Dokładnie tą samą logiką kierując się, zdrada jest też strategią dominującą Boba.

Przewidywany wynik — oboje zdradzają, oboje dostają po 2 lata — jest gorszy dla obojga graczy niż alternatywa, w której oboje współpracują i każde dostaje tylko 1 rok. Racjonalność indywidualna prowadzi do zbiorowo nieracjonalnego wyniku. To jest sedno paradoksu dylematu więźnia i powraca on w systemach ludzkich i naturalnych: wyścigi zbrojeń (obie strony się zbroją, obie są mniej bezpieczne, niż gdyby żadna się nie zbroiła), przełowienie (każda flota rybacka wyławia maksimum, łowisko się załamuje), wojny reklamowe (każda firma intensywnie się reklamuje, udziały w rynku pozostają takie same, zyski spadają).

Równowaga Nasha i dlaczego nie zawsze jest optymalna

Równowaga Nasha to zbiór strategii — po jednej dla każdego gracza — taki, że żaden gracz nie może poprawić swojego wyniku, jednostronnie zmieniając swoją strategię, przy założeniu, że wszyscy pozostali gracze grają tak, jak grają. W dylemacie więźnia (zdrada, zdrada) jest równowagą Nasha: skoro Bob zdradza, Alicja nie może poprawić swojej sytuacji, przechodząc do współpracy (dostałaby wtedy 3 lata zamiast 2). Bob znajduje się w tej samej sytuacji. Nikt nie ma bodźca, by odstąpić od swojej strategii, mimo że oboje woleliby wynik (współpraca, współpraca).

Twierdzenie Nasha dowodzi, że każda skończona gra ma co najmniej jedną równowagę Nasha, ewentualnie z użyciem strategii mieszanych (wyborów losowanych). Był to przełomowy wynik, ponieważ gwarantował stabilne pojęcie rozwiązania dla dowolnej dobrze zdefiniowanej sytuacji strategicznej. Ale równowagi Nasha to nie to samo, co wyniki optymalne dla społeczeństwa.

Tragedia wspólnego pastwiska ilustruje to bardzo wyraźnie. Wspólne pastwisko jest dostępne dla wszystkich pasterzy. Każdy pasterz czerpie prywatną korzyść z dodania kolejnego zwierzęcia, ale koszt nadmiernego wypasu ponosi wspólnie ze wszystkimi. Strategią dominującą każdego pasterza jest dodawanie zwierząt, aż pastwisko zostanie zniszczone — równowaga Nasha, która jest katastrofalna dla wszystkich. Analiza Hardina z 1968 roku sugerowała, że jedynymi rozwiązaniami są prywatyzacja lub zewnętrzna regulacja. Późniejsza praca Elinor Ostrom (Nagroda Nobla 2009) pokazała, że społeczności potrafią wypracować samorządne instytucje do zrównoważonego zarządzania dobrami wspólnymi — ale wymaga to komunikacji, reputacji i wielokrotnych interakcji, które proste modele teorii gier pomijają.

Pojęciem, które kontrastuje z równowagą Nasha, jest optymalność w sensie Pareto: wynik jest optymalny w sensie Pareto, jeśli nie da się poprawić sytuacji żadnego gracza bez pogorszenia sytuacji innego. W dylemacie więźnia (współpraca, współpraca) jest optymalna w sensie Pareto. (zdrada, zdrada) nie jest — sytuacja obojga graczy mogłaby się poprawić dzięki przejściu do wzajemnej współpracy. Wiele równowag Nasha nie jest optymalnych w sensie Pareto, co jest formalnym wyrazem obserwacji, że rynki i zachowania strategiczne nie prowadzą automatycznie do efektywnych wyników.

Wet za wet: jak rodzi się współpraca

Jeśli racjonalność indywidualna prowadzi do wzajemnej zdrady, w jaki sposób w ogóle powstaje współpraca? To pytanie zaprzątało politologa Roberta Axelroda pod koniec lat siedemdziesiątych. W 1980 roku zorganizował on komputerowy turniej, w którym teoretycy gier nadsyłali strategie do rywalizacji w iterowanym dylemacie więźnia — ta sama para graczy wielokrotnie staje przed tym samym wyborem, pamiętając poprzednie rundy.

Iterowana wersja gry fundamentalnie zmienia analizę. Możliwa staje się reputacja i odwet. Przyszłe interakcje zyskują wartość. Axelrod zaprosił do udziału, zaprogramował każdą strategię tak, by grała przeciwko każdej innej i przeciwko samej sobie, a następnie zsumował uzyskane wyniki. Zwycięzcą spośród 14 zgłoszeń nadesłanych przez czołowych teoretyków gier z różnych dziedzin okazała się najprostsza z nich: dwuliniowa strategia Anatola Rapoporta nazwana wet za wet (ang. Tit-for-Tat).

Zasady strategii wet za wet są następujące:

• Współpracuj w pierwszym ruchu.
• W każdym kolejnym ruchu rób dokładnie to, co przeciwnik zrobił w poprzedniej rundzie.

Axelrod zidentyfikował cztery cechy, które czyniły ją tak skuteczną. Jest miła — nigdy nie zdradza jako pierwsza. Jest odwetowa — natychmiast karze zdradę. Jest wybaczająca — wraca do współpracy, gdy tylko robi to przeciwnik. I jest przejrzysta — jej zachowanie jest na tyle proste, że inne strategie mogą je „zrozumieć” i się do niego dostosować.

Axelrod przeprowadził drugi turniej, tym razem z 62 zgłoszeniami z całego świata, których autorzy zapoznali się już z analizą pierwszego turnieju. Wet za wet zwyciężyło ponownie. Wynik ten wskazywał na coś głębokiego: w świecie powtarzających się interakcji strategie kooperacyjne, które karzą zdradę i wybaczają skruchę, przewyższają strategie czysto egoistyczne.

John Maynard Smith sformalizował wymiar ewolucyjny za pomocą pojęcia strategii ewolucyjnie stabilnej (ESS). ESS to strategia, która — jeśli zostanie przyjęta przez populację — nie może zostać zdominowana przez żadną alternatywną strategię. Wet za wet nie jest ESS w ścisłym sensie — populację czystych kooperantów mogą zdominować zdrajcy — ale populacje złożone z mieszanki strategii wet za wet i kooperantów mogą być stabilne wobec inwazji zdrajców, gdy interakcje są wystarczająco często powtarzane, a osobniki oddziałują z tymi samymi partnerami przez dłuższy czas.

Natura niezależnie odkryła tę dynamikę. Wargacze czyściciele wyjadają pasożyty z ciał ryb rafowych (swoich „klientów”) — to relacja kooperacyjna z wyraźną pokusą zdrady (czyściciel mógłby zamiast tego ugryźć). Ryby czyszczące, które oszukują, są „karane” przez klientów, którzy odpływają i rozprzestrzeniają informację o reputacji wśród społeczności rafy. Nietoperze wampiry, wracając z udanych lotów żerowania, zwracają krew głodnym nietoperzom dzielącym z nimi schronienie — nawet nienależącym do rodziny — ponieważ same będą potrzebować takiej przysługi, gdy wrócą bez zdobyczy. Koszt dawania jest niski (nietoperz może zginąć z głodu bez posiłku w ciągu 60 godzin), korzyść dla biorcy jest wysoka, a nietoperze pamiętają, kto im pomógł.

Poza dwóch graczy

Rzeczywiste problemy współpracy rzadko dotyczą tylko dwóch podmiotów. Gry o dobro publiczne rozszerzają dylemat więźnia na grupy: każdy gracz może wnieść wkład do wspólnej puli, wkłady są mnożone i dzielone po równo, ale każda jednostka zarabia więcej, nie wnosząc wkładu, niezależnie od tego, co robią inni. Równowagą Nasha jest zerowy wkład — a jednak w eksperymentach laboratoryjnych ludzie konsekwentnie wnoszą dodatnie wkłady, zwłaszcza we wczesnych rundach. Mechanizmy kary, reputacja i normy społeczne dramatycznie zwiększają i podtrzymują współpracę.

Dlaczego zwierzęta wydają sygnały ostrzegawcze, które alarmują innych, ale zwracają uwagę drapieżnika na nie same? U wielu gatunków „sygnalizujący alarm” są blisko spokrewnieni z tymi, których ostrzegają. Teoria doboru krewniaczego W.D. Hamiltona (sformalizowana jako reguła Hamiltona: rB > C, gdzie r to stopień pokrewieństwa, B to korzyść dla biorcy, a C to koszt dla nadawcy) wyjaśnia altruizm wobec krewnych jako zamaskowany genetyczny interes własny. Sygnał alarmowy, który ratuje dwoje rodzeństwa, kosztuje cię jedną jednostkę dostosowania, ale zachowuje dwie jednostki twojego własnego materiału genetycznego, ponieważ każde z rodzeństwa dzieli z tobą połowę genów.

Altruizm odwzajemniony (Robert Trivers, 1971) rozszerza współpracę na osobniki niespokrewnione u długowiecznych gatunków o powtarzających się interakcjach i zdolności poznawczej do rozpoznawania jednostek i śledzenia historii wymian. Kwestia doboru grupowego — czy dobór naturalny może działać na grupy tak samo jak na jednostki, faworyzując współpracę wewnątrzgrupową kosztem konkurencji międzygrupowej — pozostaje przedmiotem aktywnej debaty, z istotnymi pracami empirycznymi i teoretycznymi po obu stronach sporu.

Ruch drogowy to kolejna gra wieloosobowa z dobrze znaną patologią równowagi Nasha. Paradoks Braessa pokazuje, że dodanie przepustowości drogowej do sieci może zwiększyć średni czas podróży: każdy kierowca racjonalnie wybiera dla siebie najszybszą trasę, ale wynik zbiorowy jest gorszy, niż gdyby część kierowców zmuszono do korzystania z „wolniejszych” tras. Seul w Korei Południowej głośno rozebrał estakadę autostradową w 2003 roku i odkrył, że ruch się poprawił — realny przykład paradoksu Braessa działającego w odwrotnym kierunku.

Teoria gier zaczęła się jako abstrakcja matematyczna, a wyrosła na jeden z najpotężniejszych obiektywów, przez które można patrzeć na świat żywy. Pokazuje nam, dlaczego współpraca jest krucha — zawsze podatna na wykorzystanie przez zdrajców — i dlaczego mimo to przetrwa i rozkwita, osadzona w strukturach powtarzalności, reputacji, pokrewieństwa i instytucji charakterystycznych dla każdego ludzkiego społeczeństwa. Dylemat więźnia nie jest zagadką do rozwiązania. Jest opisem napięcia wplecionego w tkankę życia społecznego, napięcia, dla którego każdy zależny od współpracy gatunek na Ziemi znalazł częściowe, warunkowe, niedoskonałe sposoby radzenia sobie.