🎵 Visualiseur DFT & STFT

Lorsque vous prenez la DFT d'un bloc fini d'échantillons, vous multipliez implicitement le signal par une fenêtre rectangulaire — le coupant abruptement aux bords. Cela crée une fuite spectrale : les bords nets introduisent des composantes de fréquence parasites qui étalent l'énergie des tons forts vers les cases voisines. Les fonctions de fenêtre comme Hann, Hamming, Blackman ou Kaiser atténuent le signal en douceur jusqu'à zéro aux bords, réduisant la fuite au prix de lobes principaux légèrement plus larges (résolution fréquentielle réduite). Le choix de la fenêtre dépend du fait que vous avez besoin d'une faible fuite (Blackman) ou d'un lobe principal étroit (rectangulaire).

Le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon stipule qu'un signal ne contenant aucune fréquence au-dessus de fₘₐₓ peut être parfaitement reconstruit à partir d'échantillons pris à un taux d'au moins 2fₘₐₓ (le taux de Nyquist). Échantillonner en dessous de ce taux cause du repliement : les composantes haute fréquence se replient et apparaissent comme des signaux basse fréquence fantômes. Les CD audio utilisent un taux d'échantillonnage de 44 100 Hz pour capturer des fréquences jusqu'à 22 050 Hz — légèrement au-dessus de la limite d'audition humaine d'environ 20 000 Hz.

Chaque coefficient DFT Xₖ est un nombre complexe avec une magnitude |Xₖ| (à quel point la fréquence k est présente) et une phase arg(Xₖ) (le décalage temporel de cette composante de fréquence par rapport au début de la fenêtre). Les spectrogrammes affichent généralement seulement |Xₖ|² (le spectre de puissance) car la phase est difficile à interpréter visuellement et moins pertinente perceptuellement pour l'audio. Cependant, la phase est cruciale pour la reconstruction du signal : la DFT inverse nécessite à la fois la magnitude et la phase pour récupérer le signal original.

Les codecs audio MP3 et AAC utilisent une version modifiée de la STFT — la Transformée en Cosinus Discrète Modifiée (MDCT) — pour convertir l'audio dans le domaine fréquentiel. Ils appliquent ensuite un masquage psychoacoustique : les tons forts masquent les tons plus faibles proches, donc les bits peuvent être réalloués des fréquences masquées vers les fréquences audibles. La taille de trame MDCT est adaptée dynamiquement (plus longue pour les signaux stationnaires, plus courte pour les transitoires) — exactement le compromis temps-fréquence que contrôle la taille de fenêtre STFT.

La STFT et la transformée en ondelettes analysent toutes deux un signal à plusieurs emplacements temporels, mais elles diffèrent dans la façon dont elles pavent le plan temps-fréquence. La STFT utilise une taille de fenêtre fixe, donnant une résolution uniforme en temps et en fréquence à toutes les échelles. La transformée en ondelettes utilise une fenêtre qui s'échelonne avec la fréquence : des fenêtres plus larges pour les basses fréquences (bonne résolution fréquentielle) et des fenêtres plus étroites pour les hautes fréquences (bonne résolution temporelle). Cela donne aux ondelettes une largeur de bande relative constante (facteur Q), mieux adaptée à la façon dont le système auditif humain traite le son.

Le remplissage de zéros signifie ajouter des zéros à un signal avant de calculer sa DFT, augmentant N sans ajouter de nouvelle information. Il interpole le spectre de fréquence — les cases de sortie deviennent plus densément espacées en fréquence — rendant les pics spectraux plus faciles à voir. Cependant, il n'améliore pas la résolution fréquentielle réelle (qui est déterminée par la longueur réelle du signal, pas la longueur remplie). Le remplissage de zéros est couramment utilisé à des fins d'affichage et pour la convolution efficace via les méthodes overlap-add ou overlap-save.