📋 Chemin critique (CPM/PERT)

Le PERT modélise la durée de chaque tâche par une loi bêta paramétrée par trois estimations temporelles : optimiste (o, meilleur cas), la plus probable (m, mode) et pessimiste (p, pire cas). La durée attendue est t_e = (o + 4m + p) / 6, une moyenne pondérée qui accorde quatre fois plus de poids à l'estimation la plus probable. La variance de chaque tâche est σ² = ((p − o) / 6)². Pour l'ensemble du chemin critique, les variances sont sommées (les tâches sont supposées indépendantes), donnant la variance du chemin utilisée pour calculer le score Z de la probabilité de respecter l'échéance.

Une fois connues la durée attendue du projet μ et la variance sommée du chemin critique σ², la probabilité de respecter l'échéance utilise l'approximation normale : Z = (échéance − μ) / σ, où σ = √σ². La fonction de répartition de la loi normale en Z donne P(T ≤ échéance). Le simulateur utilise l'approximation polynomiale d'Abramowitz & Stegun de la fonction d'erreur (erf) pour ce calcul sans bibliothèques externes. Une échéance égale à la durée attendue donne une probabilité d'environ 50 % ; ajouter un σ la porte à environ 84 %.

Oui. Plusieurs chemins du réseau peuvent partager la même durée maximale, les rendant tous critiques simultanément. Ceci est illustré par le préréglage Quasi-égalité du simulateur, où deux itinéraires parallèles ont des longueurs presque égales — un petit changement sur une tâche de l'un ou l'autre itinéraire peut modifier quel chemin est critique. Avoir plusieurs chemins critiques est considéré comme plus risqué, car tout retard sur l'un de ces chemins affecte immédiatement la date de fin du projet.

Le CPM a été développé en 1957 par Morgan Walker (DuPont) et James Kelley (Remington Rand) pour planifier les révisions d'usines chimiques. Le PERT a été développé indépendamment et presque simultanément (1957–1958) par le Bureau des projets spéciaux de la marine américaine avec Booz Allen Hamilton pour le programme de missile balistique Polaris, qui nécessitait de coordonner des milliers de contractants et sous-traitants. Les deux méthodes ont été publiées pour la première fois en 1959 et sont largement créditées d'avoir réduit de deux ans le calendrier du programme Polaris.

Le CPM et le PERT nécessitent un graphe orienté acyclique (DAG) — un graphe orienté sans cycles — car une dépendance cyclique (A dépend de B, B dépend de A) rendrait l'ordonnancement logiquement impossible. Le tri topologique utilisé dans les passes avant et arrière n'est valide que pour les DAG. Les réseaux de projets réels sont toujours des DAG par définition : une tâche ne peut pas commencer avant d'être elle-même terminée. Le simulateur applique cette règle en n'utilisant que des structures acycliques prédéfinies.

Le CPM est intégré dans des outils tels que Microsoft Project, Primavera P6 et des alternatives open source comme ProjectLibre. Dans la construction, l'Association for the Advancement of Cost Engineering (AACE) impose l'ordonnancement CPM pour les grands projets ; sur les projets logiciels, le CPM sous-tend la génération des diagrammes de Gantt dans Jira et des plateformes similaires. L'estimation à trois points de PERT est également à la base des raffinements du Planning Poker et de la prévision par classe de référence utilisée dans l'estimation agile des user stories.

Le CPM suppose des durées déterministes, ce qui est rarement vrai en pratique. Le PERT y remédie partiellement mais suppose toujours l'indépendance entre les durées des tâches (les risques corrélés sont ignorés) et approxime la distribution de la durée du chemin par une loi normale, ce qui sous-estime la probabilité de retard — le « biais de fusion » ou « biais PERT ». La simulation de Monte-Carlo (échantillonnage de milliers de scénarios aléatoires) est le remède moderne, utilisé dans les outils d'ordonnancement ajustés au risque. De plus, aucune des deux méthodes ne tient compte des contraintes de ressources ; cela nécessite l'ordonnancement de projet sous contraintes de ressources (RCPS), un problème NP-difficile en général.

L'ordonnancement de projet sous contraintes de ressources (RCPS) ajoute des limites de ressources au CPM, le rendant NP-difficile. La gestion de projet par chaîne critique (CCPM), proposée par Eliyahu Goldratt, déplace les tampons des tâches individuelles vers la fin de la chaîne et vers les chaînes d'alimentation. Le compromis temps-coût (crashing) étend le CPM en permettant de dépenser de l'argent supplémentaire pour raccourcir les durées des tâches, et pose la question : quel est le moyen le moins coûteux de raccourcir le projet d'une quantité donnée ? Ces extensions sont des domaines de recherche actifs en recherche opérationnelle et en sciences de gestion.