⚖️ Inférence bayésienne — A priori, vraisemblance et a posteriori

MAP signifie Maximum A Posteriori — c'est la valeur de θ qui maximise la densité a posteriori. Pour Beta(α,β), elle vaut (α−1)/(α+β−2) (pour α,β > 1). Avec un a priori uniforme (α=β=1, équivalent à aucune connaissance a priori), le MAP se réduit à l'estimation du maximum de vraisemblance k/n — simplement la proportion observée. Le MAP est affiché sous forme de ligne pointillée jaune sur le graphique.

L'intervalle de crédibilité à 95 % (IC) contient 95 % de la probabilité a posteriori — vous pouvez directement dire « il y a 95 % de probabilité que θ se situe dans cet intervalle ». Un intervalle de confiance fréquentiste à 95 % a un sens plus subtil : si l'expérience était répétée de nombreuses fois, 95 % des intervalles calculés contiendraient le paramètre fixe réel. Pour de grands échantillons, les deux sont numériquement similaires, mais leurs interprétations diffèrent fondamentalement.

Un a priori conjugué est une distribution a priori dont la forme fonctionnelle est préservée après multiplication par la vraisemblance : l'a posteriori appartient à la même famille paramétrique. Pour une vraisemblance Binomiale, l'a priori conjugué est la loi Bêta ; pour Poisson, c'est la loi Gamma ; pour une gaussienne à variance connue, c'est une autre gaussienne. La conjugaison évite l'intégration numérique, offrant une mise à jour a posteriori sous forme close, analytiquement exacte et instantanée à calculer.

Le préréglage Test médical fixe α=1, β=9, représentant une prévalence a priori de la maladie d'environ 10 %. Chaque clic sur « Succès » représente un résultat de test positif. Si le test a une sensibilité de 90 % et une spécificité de 95 %, un résultat positif devrait mettre à jour l'a posteriori de manière substantielle vers le haut. Ce scénario illustre le sophisme du taux de base : même un test très précis appliqué à une maladie rare produit de nombreux faux positifs, car la probabilité a priori de la maladie est faible — un concept clé dans les politiques de dépistage médical.

La mise à jour bayésienne consiste à utiliser l'a posteriori d'aujourd'hui comme a priori de demain. Si vous observez 3 faces sur 5 lancers, l'a posteriori est Beta(1+3, 1+2) = Beta(4,3). Si vous observez ensuite 2 faces supplémentaires sur 4 lancers, vous mettez à jour vers Beta(4+2, 3+2) = Beta(6,5). Le résultat final est identique à celui obtenu en calculant l'a posteriori à partir des 9 lancers en une seule fois — l'inférence bayésienne séquentielle et par lot sont prouvablement équivalentes, tant que les observations sont indépendantes.

Utilisez un a priori non informatif (plat ou faiblement informatif) lorsque vous avez peu de connaissance a priori et voulez que l'a posteriori soit dominé par les données — Beta(1,1) dans ce simulateur. Utilisez un a priori informatif lorsque vous disposez d'une information a priori authentique (par exemple issue d'une méta-analyse) qui doit influencer les conclusions même avec de petits jeux de données. Dans les essais cliniques, les régulateurs exigent parfois le préenregistrement des a priori pour empêcher la pêche a posteriori — choisir l'a priori après avoir vu les données pour obtenir le résultat souhaité.

L'estimation fréquentiste du maximum de vraisemblance (MLE) pour la probabilité de face d'une pièce est simplement k/n — la proportion observée. Un intervalle de confiance fréquentiste à 95 % vaut approximativement p̂ ± 1,96 × √(p̂(1−p̂)/n). La moyenne a posteriori bayésienne est (α+k)/(α+β+n), qui égale le MLE uniquement pour un a priori plat (α=β=1) avec n grand. Pour les petits échantillons, l'approche bayésienne régularise naturellement l'estimation vers l'a priori, évitant le surajustement à des données rares.