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🍦 Secciones Cónicas

Simulador interactivo de secciones cónicas. Corta un doble cono con un plano ajustable y observa cómo se forman en tiempo real el círculo, la elipse, la parábola o la hipérbola, según la verdadera relación de excentricidad.

Geometría2DFácil60 FPS

🍦 Qué demuestra

Una sección cónica es la curva formada donde un plano corta un doble cono (dos conos unidos por su vértice). Según el ángulo del plano de corte respecto al eje del cono, aparecen cuatro curvas distintas: un círculo, una elipse, una parábola, o una hipérbola. Esto fue estudiado exhaustivamente por el matemático griego antiguo Apolonio de Perge alrededor del año 200 a. C. en su tratado Cónicas, que dio nombre a estas curvas y dedujo la mayoría de sus propiedades fundamentales sin usar álgebra.

La magnitud determinante es la excentricidad, e = sen(θ)/sen(α), donde θ es el ángulo que forma el plano de corte con la base del cono (0° = un corte horizontal) y α es el semiángulo del cono. Cuando e = 0 la sección es un círculo; cuando 0 < e < 1 es una elipse; exactamente en e = 1 el plano corre paralelo al borde oblicuo del cono, produciendo una parábola; y cuando e > 1 el plano es lo bastante inclinado para cortar la curvatura de ambos mantos, produciendo una hipérbola.

Cómo usarla

Arrastra el control deslizante del ángulo del plano θ desde 0° (corte plano, circular) hasta 90° (corte vertical, hiperbólico).
Ajusta el semiángulo del cono α para hacer el cono más estrecho o más ancho — esto desplaza exactamente qué valores de θ producen cada tipo de curva.
Observa cómo se actualiza a la izquierda la vista lateral del cono y el plano de corte, y cómo la curva cónica 2D resultante se dibuja a la derecha a partir de su ecuación polar.
Lee en vivo la excentricidad y la etiqueta del tipo de cónica mientras ajustas cualquiera de los controles.

¿Sabías que...?

Las secciones cónicas están lejos de ser una curiosidad matemática: las órbitas planetarias y de satélites son elipses (primera ley de Kepler), una parábola es la forma exacta que traza un proyectil lanzado bajo gravedad uniforme (ignorando la resistencia del aire) y la forma usada en antenas parabólicas y reflectores de faros de coche para enfocar rayos paralelos en un punto, y las hipérbolas describen las trayectorias de objetos en un sobrevuelo gravitacional no ligado, como algunos cometas y objetos interestelares que atraviesan el sistema solar una sola vez.

Acerca de esta simulación

Este simulador dibuja una vista lateral 2D de un doble cono siendo cortado por un plano en un ángulo ajustable, y al mismo tiempo grafica la sección cónica resultante — círculo, elipse, parábola o hipérbola — usando su verdadera ecuación polar r = l/(1 + e·cos θ), donde la excentricidad e se calcula directamente a partir del ángulo del plano de corte y el semiángulo del cono.

🔬 Qué muestra

El panel izquierdo dibuja el contorno del cono y una línea que representa el plano de corte en el ángulo θ elegido. El panel derecho grafica la curva cónica real usando la ecuación polar impulsada por la excentricidad, de modo que la forma de la curva realmente cambia de un círculo cerrado a elipses, a una parábola abierta, a una hipérbola de dos ramas conforme la excentricidad cruza 0 y luego 1.

🎮 Cómo usarla

Arrastra el control deslizante del ángulo del plano θ para inclinar el plano de corte desde plano (0°, sección circular) hasta vertical (90°, hipérbola). Ajusta el Semiángulo α del cono para hacerlo más agudo o más ancho, lo que desplaza el valor de θ en el que la curva pasa de elipse a parábola a hipérbola. El panel de lectura muestra en vivo la excentricidad y el nombre de la curva.

💡 ¿Sabías que...?

Todas las secciones cónicas pueden describirse con una única ecuación, Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, donde el tipo concreto de curva queda determinado enteramente por el signo del discriminante B² − 4AC: negativo da una elipse (o círculo), cero da una parábola, y positivo da una hipérbola — coincidiendo exactamente con los límites e = 0, e = 1 y e > 1 usados en esta simulación.

Preguntas frecuentes

¿Qué determina si un corte es un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola?

La excentricidad e = sen(θ)/sen(α), donde θ es el ángulo del plano de corte respecto a la horizontal y α es el semiángulo del cono. Un valor de e = 0 (un corte plano, horizontal) da un círculo, 0 < e < 1 da una elipse, e = 1 (el plano exactamente paralelo al lado oblicuo del cono) da una parábola, y e > 1 da una hipérbola.

¿Por qué un plano paralelo al borde del cono produce específicamente una parábola?

Cuando el plano de corte se inclina para coincidir exactamente con la pendiente de la superficie lateral del cono, la curva resultante se extiende hasta el infinito en una dirección sin llegar nunca a cerrarse en una elipse ni a dividirse en dos ramas separadas, que es la propiedad geométrica definitoria de una parábola.

¿Por qué una hipérbola tiene dos ramas?

Cuando el plano de corte es lo bastante inclinado (e > 1), corta tanto el manto superior como el inferior del doble cono, produciendo dos curvas separadas en imagen especular — las dos ramas de la hipérbola — en lugar de una única curva cerrada o abierta.

¿Es un círculo realmente solo una elipse especial?

Sí. Un círculo es el caso límite de una elipse en el que la excentricidad es exactamente cero, lo que significa que ambos focos coinciden en el centro. Esto ocurre geométricamente cuando el plano de corte es perfectamente perpendicular al eje del cono.

¿Dónde aparecen las secciones cónicas fuera de la geometría pura?

Las órbitas planetarias y de satélites son elipses, los proyectiles lanzados bajo gravedad uniforme siguen trayectorias parabólicas, los espejos y antenas parabólicos enfocan rayos paralelos en un único punto, y las trayectorias hiperbólicas describen sobrevuelos no ligados como los de algunos cometas u objetos interestelares que atraviesan el sistema solar una sola vez.

⚙ Bajo el capó

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