🎯 Monte-Carlo-Pi-Schätzung

Ein Viertelkreis mit Radius 1, einbeschrieben in ein Einheitsquadrat, hat die Fläche π/4, während das Quadrat die Fläche 1 hat. Werden Punkte gleichverteilt über das Quadrat verteilt, entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt innerhalb des Viertelkreises landet, genau diesem Flächenverhältnis, π/4. Das Zählen des Anteils der Punkte, die innerhalb landen, und die Multiplikation mit 4 schätzt daher π.

Jede Charge zufälliger Punkte ist eine neue statistische Stichprobe, sodass der beobachtete Innen-Anteil um den wahren Wert von π/4 schwankt. Mit wachsender Gesamtzahl der Punkte N zieht das Gesetz der großen Zahlen die laufende Schätzung näher an π heran, und der typische Fehler schrumpft proportional zu 1/√N.

Es handelt sich um eine statistische Schätzung und keine exakte Berechnung. Da die Position jedes Punktes zufällig ist, ist auch die Anzahl der Punkte innerhalb des Viertelkreises selbst eine Zufallsvariable, sodass die Schätzung stets einen gewissen Stichprobenfehler trägt. Dieser Fehler schrumpft mit mehr Stichproben, verschwindet aber in einem endlichen Lauf nie vollständig.

Monte-Carlo-Schätzungen konvergieren typischerweise mit einer Rate von 1/√N, was bedeutet, dass man etwa 100-mal mehr Stichproben benötigt, um eine zusätzliche Dezimalstelle an Genauigkeit zu gewinnen. Das ist viel langsamer als deterministische numerische Methoden für glatte eindimensionale Probleme, aber Monte Carlo skaliert weitaus besser auf hochdimensionale Probleme, bei denen diese Methoden unpraktikabel werden.

Monte-Carlo-Methoden werden überall dort eingesetzt, wo ein Problem zu komplex ist, um es exakt zu lösen, aber durch wiederholtes zufälliges Abtasten angenähert werden kann: Bewertung komplexer Finanzderivate, Simulation von Teilchenphysik und Kernreaktionen, Rendern realistischer Beleuchtung in Computergrafik, Optimierung und bayessche statistische Inferenz, neben vielen weiteren Anwendungen.