Simulator der Atwood-Maschine: zwei Massen, m1 und m2, hängen an einem masselosen, nicht dehnbaren Seil, das über eine Rolle mit Radius R und regulierbarem Trägheitsmoment I_p läuft. Die reine Beschleunigung beträgt a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²), und die Seilspannung auf jeder Seite, T1 = m1(g − a) und T2 = m2(g + a), ist nur bei einer idealen Rolle (I_p = 0) gleich. Ändern Sie beide Massen und das Trägheitsmoment der Rolle, um zu sehen, wie sich Beschleunigung, Spannungsasymmetrie und die Rotation der Rolle verändern, und klicken Sie dann auf Zurücksetzen, um die Massen erneut vom oberen Ende ihrer Bahn loszulassen.
Die Atwood-Maschine — zwei Massen, verbunden durch ein Seil über eine Rolle — wurde 1784 von George Atwood, einem englischen Mathematiker, erfunden, um den freien Fall gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz zu verlangsamen und direkt zu überprüfen. Da die antreibende Kraft nur die kleine Differenz zwischen den beiden hängenden Gewichten ist, m1 − m2, während die beschleunigte Trägheit ihre Summe ist, m1 + m2, kann die resultierende Beschleunigung a = (m1 − m2)g / (m1 + m2) viel kleiner gemacht werden als g. Das machte es mit den groben Uhren und Linealen des achtzehnten Jahrhunderts möglich, die Bewegung genau genug zu stoppen, um zu bestätigen, dass die Beschleunigung konstant und proportional zur Kraft ist, und sogar eine brauchbare Schätzung von g zu erhalten.
Dieser Simulator erweitert den klassischen Aufbau um eine Rolle, die ein eigenes Trägheitsmoment I_p besitzen kann. Eine ideale, masselose Rolle lenkt das Seil einfach um, sodass die Spannung auf beiden Seiten gleich ist: T1 = T2 = 2m1m2g/(m1+m2). Eine reale Rolle hat Masse und muss selbst durch das Nettodrehmoment der beiden Seilspannungen winklig beschleunigt werden, was T1 ≠ T2 erfordert, sobald die Rolle sich dem Anlaufen widersetzt. Das vollständige Ergebnis, a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²), zeigt, dass der zusätzliche Trägheitsterm I_p/R² genau wie zusätzliche Masse im Nenner wirkt — er verlangsamt das System, ohne zu ändern, welche Seite fällt. Weil sie eine klare, regulierbare Beziehung zwischen Kraft, Masse und Trägheitsmoment isoliert, bleibt die Atwood-Maschine ein Grundpfeiler einführender Mechaniklabore zur Messung von g und zur Demonstration des zweiten Newtonschen Gesetzes bei kontrollierter, geringer Beschleunigung.
Wofür wird eine Atwood-Maschine verwendet?
Es ist ein klassisches Lehr- und Messgerät: Zwei Massen hängen an einem Seil über eine Rolle, und der kleine Unterschied zwischen ihnen erzeugt eine langsame, leicht messbare Beschleunigung. Physiklabore nutzen sie, um das zweite Newtonsche Gesetz zu überprüfen, die örtliche Fallbeschleunigung g zu messen und zu zeigen, wie Spannung und Beschleunigung von der Masse abhängen und, wenn die Rolle selbst Masse hat, auch vom Trägheitsmoment.
Warum ist die Spannung auf beiden Seiten nur bei einer idealen Rolle gleich?
Eine ideale Rolle gilt als masselos und reibungsfrei, übt also selbst kein Nettodrehmoment aus — sie lenkt das Seil nur um, und dieselbe Spannung läuft unverändert durch, sodass T1 = T2 gilt. Eine reale Rolle hat Masse und Trägheitsmoment I_p, und das Nettodrehmoment der beiden unterschiedlichen Spannungen ist es, das sie in Drehung versetzt. Das erfordert, dass sich T1 und T2 unterscheiden, sobald die Rolle beschleunigt, was Sie in diesem Simulator genau sehen können, indem Sie I_p über null anheben.
Was passiert, wenn m1 gleich m2 ist?
Der Zähler der Beschleunigungsformel, m1 − m2, wird null, sodass a = 0 ist, unabhängig vom Trägheitsmoment der Rolle. Beide Spannungen werden gleich m·g (dem Gewicht jeder Masse), das System befindet sich im statischen Gleichgewicht, und keine Masse bewegt sich — das Seil liegt ausgeglichen über der Rolle, so wie eine symmetrische Wippe waagerecht bleiben würde.
Das Trägheitsmoment geht als zusätzlicher Term, I_p/R², in die Beschleunigungsformel ein, addiert zur kombinierten Masse m1 + m2 im Nenner: a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²). Ein größeres I_p (bei festem Radius R) macht den Nenner größer und die Beschleunigung kleiner, weil ein Teil der Gravitationsenergie, die sonst die Massen beschleunigen würde, stattdessen genutzt wird, um die Rolle anzutreiben. Das teilt auch die Spannung auf: T1 = m1(g − a) und T2 = m2(g + a) sind nicht mehr gleich, sobald a durch den zusätzlichen Trägheitsterm verringert wird.
Das Modell geht von einem masselosen, perfekt nicht dehnbaren Seil aus, das nie auf der Rolle rutscht, einer reibungsfreien Achse und keinem Luftwiderstand. Es nimmt außerdem an, dass das Seil straff bleibt und die Massen sich rein vertikal bewegen. Reale Experimente müssen mit Seildehnung, Lagerreibung, Luftwiderstand bei größeren Massen und endlicher Seilmasse rechnen — all das lässt dieses idealisierte Modell außer Acht, um die Kernbeziehung des zweiten Newtonschen Gesetzes zu isolieren.
Da die Beschleunigung a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²) meist viel kleiner ist als die Fallbeschleunigung g, kann sie mit einfachen Stoppuhren oder Lichtschranken über eine gemessene Fallstrecke genau gestoppt werden. Löst man die Formel nach g auf und setzt die gemessene Beschleunigung, die bekannten Massen und, falls nicht vernachlässigbar, das Trägheitsmoment und den Radius der Rolle ein, erhält man einen experimentellen Wert für g, den ein frei fallendes Objekt allein mit einfacher Ausrüstung viel zu schnell wäre, um es direkt zu messen.
George Atwood beschrieb das Gerät 1784 in einer Abhandlung für die Royal Society, um gezielt einen kontrollierten, wiederholbaren Weg zu bieten, die Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu testen und zu demonstrieren, die Newton etwa ein Jahrhundert zuvor beschrieben hatte. Indem er die große, schwer messbare Beschleunigung des freien Falls gegen eine kleine, regulierbare eintauschte, machte Atwood aus einem abstrakten Gesetz eine praktische Klassenzimmerdemonstration — eine Rolle, die die Maschine bis heute erfüllt.
T1 ist die Spannung im Seilabschnitt, der an m1 befestigt ist, und T2 ist die Spannung im Abschnitt, der an m2 befestigt ist. Bei einer idealen, masselosen Rolle müssen diese gleich sein, weil die Rolle die Spannung unverändert überträgt. Bei einer Rolle mit realem Trägheitsmoment ziehen die beiden Abschnitte mit unterschiedlichen Kräften am Rand der Rolle, sodass das Nettodrehmoment, (T1 − T2)·R, die Winkelbeschleunigung liefert, die nötig ist, um die Rolle anzutreiben — deshalb divergieren T1 und T2, wenn I_p zunimmt.
Jeder Block wird größer gezeichnet, je höher der Massen-Schieberegler steht — rein als visueller Hinweis: Die Simulation skaliert die Boxgröße mit dem Massenwert, damit Sie auf einen Blick sehen, welche Seite schwerer ist, ohne die numerische Anzeige zu lesen. Die Physik selbst verwendet die genauen Schiebereglerwerte in den Beschleunigungs- und Spannungsformeln; die Boxgröße ist rein kosmetisch und fließt nicht in die Berechnung ein.