Orbital Mechanics and Kepler's Laws: from the ellipse to the anomaly equation

1. Kepler's three laws

Йоганн Кеплер (1609–1619) вивів свої закони з спостережень Тихо Браге — і вони виявилися точними задовго до того, як Ньютон пояснив їх через закон тяжіння.

Разом ці закони описують кеплерівський рух — ідеальну дві-тільну задачу, де масою людини нехтуємо, а Сонце нерухоме. Реальний Сонячний рух відхиляється від цього через взаємні тяжіння планет — саме тоді потрібні N-тіла.

2. Ellipse geometry

Еліпс визначається великою напівосю a та ексцентриситетом e ∈ [0, 1):

У фокусній системі координат (Сонце у лівому фокусі) положення точки на еліпсі описується через справжню аномалію ν (кут відносно перигелію):

3. First law — elliptical orbit

Орбіту повністю описують 6 орбітальних елементів Кеплера. Для 2D-симуляції Сонячної системи достатньо двох:

• a — велика напівось (розмір орбіти, в а.о.)
• e — ексцентриситет (форма: 0 = коло, близько до 1 = дуже видовжений еліпс)

Для 3D потрібні ще нахил i, довгота висхідного вузла Ω, аргумент перицентру ω та середня аномалія у епох M₀. NASA Horizons публікує всі 6 елементів для кожної планети.

4. Second law — equal areas та збереження моменту

Другий закон Кеплера — це збереження кутового моменту:

Наслідок: у перигелії планета рухається найшвидше, в афелії — найповільніше. Кутова швидкість ν̇ змінюється з відстанню:

Це означає, що ми не можемо просто лінійно змінювати ν за часом — нам потрібна фізична прив'язка через рівняння Кеплера.

5. Third law — harmonic

Ньютон вивів точну форму через закон тяжіння:

Третій закон дозволяє обчислити кутову швидкість (середній рух) n:

6. Kepler's equation and anomalies

Щоб знайти де знаходиться планета у момент часу t, потрібно пов'язати час із кутом. Введемо три аномалії:

• Середня аномалія M — лінійна функція часу: M = n·(t − t_peri)
• Ексцентрична аномалія E — допоміжний кут, паметричне опис еліпса
• Справжня аномалія ν — реальний кут на орбіті

Зв'язок M і E — трансцендентне рівняння Кеплера:

Це рівняння не можна вирішити аналітично для E. Використовують ітерацію Ньютона:

Маючи E, обчислюємо справжню аномалію ν та декартові координати на орбіті:

7. JavaScript implementation

/** Solves Kepler's equation by Newton's method */
function solveKepler(M, e, tol = 1e-9) {
  M = M % (2 * Math.PI); // Normalise to [0, 2π]
  let E = M;
  for (let i = 0; i < 50; i++) {
    const dE = (E - e * Math.sin(E) - M) / (1 - e * Math.cos(E));
    E -= dE;
    if (Math.abs(dE) < tol) break;
  }
  return E;
}

/** Returns {x, y} in the orbital plane (AU) */
function orbitalPos(a, e, M) {
  const E = solveKepler(M, e);
  return {
    x: a * (Math.cos(E) - e),
    y: a * Math.sqrt(1 - e * e) * Math.sin(E)
  };
}

/** Planets: a (AU), e, period (years), color */
const PLANETS = [
  { name: 'Mercury', a: 0.387, e: 0.206, T: 0.241, color: '#a8a8a8' },
  { name: 'Venus',   a: 0.723, e: 0.007, T: 0.615, color: '#f5c842' },
  { name: 'Earth',   a: 1.000, e: 0.017, T: 1.000, color: '#4fa3e0' },
  { name: 'Mars',    a: 1.524, e: 0.093, T: 1.881, color: '#d95030' },
  { name: 'Jupiter', a: 5.203, e: 0.049, T: 11.86, color: '#e8b87d' },
  { name: 'Saturn',  a: 9.537, e: 0.057, T: 29.46, color: '#c8b560' },
];

// Animation: t in years
let t = 0;
function animate() {
  clearCanvas();
  drawSun();
  for (const p of PLANETS) {
    const n = 2 * Math.PI / p.T;         // mean motion [rad/yr]
    const M = n * t;                      // mean anomaly
    const { x, y } = orbitalPos(p.a, p.e, M);
    drawPlanet(x, y, p.color, p.name);
  }
  t += 0.005; // 1 frame = ~1.8 days
  requestAnimationFrame(animate);
}

Обчислення точного положення планети займає ~10 нс. Навіть усі 8 планет + Плутон + 100 астероїдів розраховуються за <5 мкс — набагато дешевше за N-тіла.

8. Real planet data

Дані відповідають середнім орбітальним елементам J2000 (NASA JPL). Реальні елементи повільно змінюються через прецесію (спорадичні збурення від інших планет).

9. Kepler vs N-body: коли що обирати

Аналітичний підхід Кеплера та чисельний метод N-тіл вирішують різні задачі:

Для Сонячної системи повнофункціональна симуляція поєднує обидва: Кеплер для фонових планет (не впливають між собою), N-тіло для випадків, де потрібні збурення (астероїди поблизу Юпітера, резонанси в поясі Койпера).