〰️ Вейвлет-Перетворення — Хаара та Добеші

Розкладіть сигнал за допомогою Дискретного Вейвлет-Перетворення (ДВП). Фільтри Хаара та Добеші-4 розбивають сигнал на коефіцієнти апроксимації і деталей. Перегляньте мультироздільний аналіз на скалограмі.

СигналиІнтерактивний
Скалограма + рядки коефіцієнтів · Переключіть вигляд для зміни відображення

Як це працює

Дискретне Вейвлет-Перетворення (ДВП) застосовує пару фільтрів — фільтр нижніх частот h і фільтр верхніх частот g — до сигналу, після чого виконує підвибірку з кроком 2. Кожен рівень ділить попередню апроксимацію на грубішу апроксимацію (cA) і смугу деталей (cD). Це швидкий пірамідний алгоритм Малла.

cA[n] = Σ h[k] · x[2n − k] (нижні частоти, підвибірка) cD[n] = Σ g[k] · x[2n − k] (верхні частоти, підвибірка) Хаар: h = [1/√2, 1/√2], g = [−1/√2, 1/√2] DB4: h = [(1+√3)/4√2, (3+√3)/4√2, (3−√3)/4√2, (1−√3)/4√2]

Скалограма відображає величину вейвлет-коефіцієнтів у вигляді теплової карти за часом і масштабом (рівнем). Реконструкція (ОДВП) є точною, якщо всі коефіцієнти збережені.

Часті запитання

Що таке Дискретне Вейвлет-Перетворення?

Дискретне Вейвлет-Перетворення (ДВП) розкладає сигнал на коефіцієнти апроксимації і деталей на кількох рівнях роздільності за допомогою масштабних і вейвлет-функцій.

Як працює вейвлет Хаара?

Вейвлет Хаара використовує просте усереднення (фільтр нижніх частот) і різницю (фільтр верхніх частот). Це найпростіший ортогональний вейвлет, що ділить сигнал на грубі апроксимації та дрібні деталі.

Що таке вейвлети Добеші?

Вейвлети Добеші (db2, db4 тощо) — компактно підтримувані ортогональні вейвлети з нульовими моментами. Вони забезпечують плавніше розкладання, ніж Хаар, але мають невеликий фазовий зсув.

Що таке мультироздільний аналіз?

Мультироздільний аналіз (МРА) розкладає сигнал у вкладені підпростори різних масштабів, забезпечуючи одночасну локалізацію в часі і частоті — чого не може Фур'є-перетворення.

Що таке скалограма?

Скалограма — двовимірний графік енергії вейвлет-коефіцієнтів у функції часу і масштабу. Яскраві ділянки вказують на великі вейвлет-коефіцієнти і виявляють частотний вміст, локалізований у часі.

Чим ДВП відрізняється від КВЧФ?

Короткочасне Фур'є-перетворення (КВЧФ) використовує фіксоване вікно, даючи однорідну часово-частотну роздільність. ДВП використовує вейвлети змінної ширини: висока частота — вузьке вікно, низька частота — широке.

Що таке нульові моменти?

Вейвлет з N нульовими моментами ортогональний до поліномів степеня до N-1. Більше нульових моментів означає плавніші вейвлети, що ефективніше стискають гладкі сигнали.

Як ДВП використовується у JPEG 2000?

JPEG 2000 використовує біортогональний вейвлет Коена-Добеші-Фево 9/7 (CDF 9/7) для стиснення з втратами і вейвлет 5/3 для стиснення без втрат, замінюючи ДКП з JPEG.

Що таке порогова обробка коефіцієнтів?

Порогова обробка обнуляє малі вейвлет-коефіцієнти деталей. Жорстке порогування обнуляє всі коефіцієнти нижче порогу; м'яке також стискає великі коефіцієнти. Використовується для шумозаглушення.

Чи можна точно інвертувати ДВП?

Так. Обернене ДВП (ОДВП) точно відновлює вихідний сигнал з коефіцієнтів апроксимації і деталей за допомогою дзеркально-спряжених фільтрів, якщо жоден коефіцієнт не відкинуто і не квантовано.

Про цю симуляцію

Ця симуляція виконує пірамідальний алгоритм Малла на синтетичному сигналі з 256 відліків, повторно згортаючи його з парою низько- та високочастотних фільтрів і проріджуючи вдвічі, щоб пошарово відокремити коефіцієнти апроксимації та деталізації. Перемикання між фільтрами Хаара та Добеші-4, або між синусоїдою, чирпом, сходинкою й зашумленим сигналом, напряму показує, як гладкість фільтра та структура сигналу формують результуючу скалограму.

🔬 Що показано

Оригінальну хвильову форму над кольоровою скалограмою, рядки якої — це величини коефіцієнтів деталізації на кожному рівні розкладу, або — після перемикання вигляду — стековані лінійні графіки апроксимації та кожної смуги деталізації окремо.

🎮 Як користуватись

Оберіть вейвлет Хаара чи Добеші-4 та тип сигналу у випадних списках, перетягуйте повзунки рівнів розкладу та частоти сигналу, натисніть "Перебудувати" для перерахунку, і натисніть "Перемкнути вигляд" (або клавішу I), щоб перемкнутись між скалограмою та рядками коефіцієнтів.

💡 Чи знали ви?

На відміну від перетворення Фур'є, яке використовує те саме фіксоване вікно на кожній частоті, неявне вікно вейвлет-перетворення автоматично звужується на високих частотах і розширюється на низьких — саме тому сигнал Чирп (частота зростає з часом) підсвічує різні рівні скалограми в різні моменти замість того, щоб розмазуватись по всій часовій осі.

Часті запитання

Чому перемикання на сигнал "Сходинка" підсвічує так багато рівнів деталізації одразу?

Різкий розрив містить енергію в дуже широкому діапазоні частот, тож високочастотний фільтр g виділяє помітні коефіцієнти деталізації саме навколо точки стрибка на кожному рівні розкладу — саме тому скалограма показує яскраву вертикальну смугу в місці сходинки, що перетинає всі рядки.

У чому насправді різниця між вибором Хаара та Добеші-4?

Двовідліковий фільтр Хаара — це просто пара усереднення/різниці, тож він миттєво реагує на різкі зміни, але дає "блочні" коефіцієнти деталізації; чотиривідліковий фільтр Добеші-4 має більше зникаючих моментів, даючи гладші, більш розтягнуті коефіцієнти для того самого сигналу — порівняйте обидва на сигналі "Синусоїда", щоб побачити візуальну різницю в гладкості коефіцієнтів.

Чому "Енергія (відновл.)" майже збігається з "Енергія (оригінал)" на панелі статистики?

Оскільки вейвлети Хаара та Добеші ортогональні, теорема Парсеваля гарантує, що сумарна енергія, розподілена між апроксимацією та всіма смугами деталізації, дорівнює енергії оригінального сигналу — невелика чисельна різниця, яку ви бачите, походить лише від обробки границь у згортці, а не від втрати інформації.

Чому збільшення рівнів розкладу перестає давати ефект після певної межі?

Кожен рівень удвічі скорочує довжину апроксимації через проріджування, і цикл у коді зупиняється, щойно залишкова апроксимація стає надто короткою для фільтрації — тож приблизно після log₂(256)=8 рівнів розкладати вже нічого, тому повзунок рівнів обмежений значно нижче цього числа.

Чому зашумлена синусоїда все одно показує чіткий патерн у нижчих рядках скалограми?

Випадковий шум розподілений приблизно рівномірно по всіх частотах і проявляється переважно на найтоншому рівні деталізації (верхній рядок, найкоротший масштаб), тоді як справжня періодична структура синусоїди концентрує енергію в грубіших рівнях, що відповідають її частоті — цей поділ за масштабом і використовує вейвлет-шумозаглушення.