Стандартне відображення — яке також називають відображенням Чирикова-Тейлора на честь радянського фізика Бориса Чирикова, що ввів його у 1969 році, а також Джона Гріна і Дж. Б. Тейлора, які незалежно досліджували його приблизно тоді ж, — моделює вільний ротор, який отримує періодичний поштовх силою K раз за цикл. Це одна з найбільш досліджуваних моделей у нелінійній динаміці, оскільки лише двома рівняннями вона охоплює фізику будь-якої періодично збуджуваної гамільтонової системи: заряджені частинки, що циркулюють у синхротроні й отримують поштовх щоразу, проходячи через нелінійний фокусувальний елемент; силові лінії магнітного поля, що блукають у плазмі токамака; або супутник, збурюваний періодичними приливними силами в небесній механіці. Відображення оновлює кут θ і кутовий момент p за формулами p_{n+1} = p_n + K·sin(θ_n) та θ_{n+1} = θ_n + p_{n+1}, причому обидві змінні беруться за модулем 2π. Єдиний параметр K визначає, наскільки сильно кожен поштовх зв'язує момент назад із кутом, а отже, наскільки сильно сусідні траєкторії розтягуються й згортаються від одного поштовху до наступного.
Те, що відбувається зі зростанням K, визначається теорією Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ). Для малих K більшість інваріантних торів незбуреного (K=0) інтегровного ротора виживають як гладкі, нерозірвані криві на площині (θ,p) — вони відповідають квазіперіодичному руху і виглядають як замкнені петлі або ланцюжки «острівців» у перерізі Пуанкаре. Зі зростанням K тонші й менш «ірраціональні» тори руйнуються першими, замінюючись тонкими смугами хаосу, доки при критичному значенні Гріна K_c ≈ 0,971635 не руйнується найостанніший тор, що вижив (найірраціональніший, із числом обертання, що дорівнює золотому перетину). Понад K_c більше немає жодного бар'єра, що заважав би траєкторії блукати всім фазовим простором, і система демонструє глобальний хаос — єдине суцільне хаотичне море. Принципово важливо, що стандартне відображення є гамільтоновим: його якобіан точно дорівнює 1, тому за теоремою Ліувілля воно зберігає площу. Це означає відсутність дисипації, відсутність атрактора і відсутність басейну тяжіння — траєкторії тут ані сходяться, ані розходяться до якоїсь підпростірної множини, на відміну від дисипативних дивних атракторів (Лоренца, Рьосслера, схеми Чуа), представлених в інших розділах цієї колекції. Ця симуляція засіває сітку з багатьох початкових умов на торі (θ,p), ітерує кожну з них тисячі разів і малює кожну точку кожної траєкторії власним кольором на спільному перерізі Пуанкаре, тож острівні ланцюжки та хаотичне море стають видимими в міру накопичення точок. Скористайтеся повзунком K або чотирма пресетами, щоб пройти від змішаного режиму КАМ через критичне значення Гріна до повністю розвиненого глобального хаосу.
Що таке стандартне відображення / кикнутий ротор?
Стандартне відображення (відображення Чирикова-Тейлора) — це проста дискретна за часом модель вільного ротора — уявіть маятникове плече без гравітації, що вільно обертається — яке отримує миттєвий поштовх силою K·sin(θ) раз за цикл. Воно оновлює момент p і кут θ за формулами p_{n+1} = p_n + K·sin(θ_n), θ_{n+1} = θ_n + p_{n+1}, обидва за модулем 2π. Попри свою простоту, це канонічна модель для періодично збуджуваних гамільтонових систем у фізиці.
Що фізично означає параметр K?
K — це сила поштовху: вона вимірює, наскільки сильно кожен періодичний поштовх зв'язує момент із кутом, тобто наскільки сильно відображення розтягує й згортає фазовий простір на кожному кроці. При K=0 відображення інтегровне (p зберігається, і рух є суто обертальним). Зі зростанням K нелінійні резонанси між різними швидкостями обертання починають перекриватися — це саме той механізм (критерій перекриття резонансів Чирикова), який руйнує регулярний рух і породжує хаос.
Що таке теорія КАМ і критичне значення Гріна?
Теорія Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) описує, які інваріантні тори інтегровної системи виживають після малого збурення. У стандартному відображенні найстійкішими є тори з «достатньо ірраціональними» числами обертання (погано наближуваними раціональними дробами). Джон Грін чисельно показав, що найостанніший тор, що виживає, — з числом обертання, рівним золотому перетину (√5−1)/2 — руйнується точно при K_c ≈ 0,971635, відомому нині як число Гріна. Нижче за K_c деякі тори завжди виживають; вище — жодного, і хаос стає глобальним.
Дисипативні системи, такі як рівняння Лоренца чи схема Чуа, з часом втрачають енергію (або, загальніше, об'єм фазового простору), тож їхні траєкторії стягуються до підпростірної притягувальної множини — дивного атрактора — незалежно від того, звідки вони почались. Стандартне відображення є гамільтоновим: його якобіан точно дорівнює 1, тому за теоремою Ліувілля площа фазового простору точно зберігається крок за кроком. Тут немає атрактора, до якого можна було б сходитися, і немає дисипації, яка стискала б об'єми. Замість питання «куди зрештою потрапляють траєкторії», для гамільтонової системи актуальне питання «які області фазового простору залишаються регулярними (тори), а які стають хаотичними» — саме на нього й відповідає теорія КАМ.
Острівні ланцюжки — це ланцюжки замкнених петель, що з'являються навколо стійких резонансів низького порядку — наприклад, навколо p = 2π·(m/n) для малих цілих m,n. Точки однієї початкової умови, що потрапила всередину острівця, стрибають від острівця до острівця в ланцюжку на послідовних ітераціях, але ніколи не покидають його, утворюючи гладкий, впорядкований візерунок. Це візуальна ознака регулярного (нехаотичного) квазіперіодичного руху, вкладеного в інакше хаотичне море, і вони зберігаються навіть значно вище критичного значення Гріна K_c, бо деякі окремі резонанси залишаються стійкими ще довго після того, як останній тор КАМ, що їх колись розділяв, зруйнувався.
Хаотичне море — це зв'язна область фазового простору, заповнена хаотичними траєкторіями — точками, що блукають нібито випадково, густо покриваючи область замість того, щоб окреслювати гладку криву. Нижче критичного значення Гріна K_c хаотичне море замкнене в окремі кишені інваріантними торами КАМ, що виживають, і діють як непроникні бар'єри. Вище K_c, коли всі тори зруйновано, кишені зливаються в одне суцільне море, що охоплює весь тор (θ,p), — це і є «глобальний хаос», і траєкторія, розпочата будь-де в морі, зрештою може опинитися як завгодно близько до будь-якої іншої точки в ньому.
Стандартне відображення — це загальна модель для будь-якої системи, що отримує періодичний поштовх, тож воно трапляється всюди у фізиці: у прискорювачах частинок воно моделює поперечний рух зарядженої частинки, яка отримує нелінійний фокусувальний поштовх щоразу, проходячи через магніт, і використовується для вивчення втрати пучка; у фізиці плазми воно моделює блукання силових ліній магнітного поля в збуреному токамаку, де поверхні КАМ відповідають «добрим» магнітним поверхням, що утримують плазму; у небесній механіці воно наближує орбіти, збурені періодичними приливними або резонансними силами, що стосується стійкості орбіт астероїдів і планетних кілець.
Переріз Пуанкаре — це «зріз» меншої розмірності через фазовий простір неперервної в часі або періодично збуджуваної системи, взятий один раз за цикл збудження (або один раз при перетині обраної поверхні). Для кикнутого ротора вибірка (θ,p) один раз за поштовх перетворює повний неперервний рух саме на дискретне стандартне відображення, тож ітерації відображення і є перерізом Пуанкаре. Нанесення точок перерізу багатьох траєкторій на одну й ту саму площину (θ,p) розкриває глобальну структуру — інваріантні тори як гладкі криві, острівні ланцюжки навколо резонансів і хаотичні моря як розсіяні хмари точок — значно ясніше, ніж будь-яка окрема неперервна траєкторія.