Трикутники на великих колах · Теорема Жирара · Перетягуйте, щоб обертати глобус
Точка A (червона)
Точка B (зелена)
Точка C (синя)
На поверхні сфери найкоротший шлях між двома точками — це дуга великого кола — кола, площина якого проходить через центр сфери. Три точки, з'єднані трьома дугами великих кіл, утворюють сферичний трикутник. На відміну від плаского трикутника, чиї внутрішні кути завжди в сумі дають рівно 180°, кути сферичного трикутника в сумі дають більше 180°. Величина, на яку вони перевищують 180°, — це сферичний надлишок E = A + B + C − 180°, і за теоремою Жирара площа трикутника на сфері радіуса R дорівнює E·R² (де E виміряно в радіанах). Ця симуляція обчислює довжини дуг за допомогою сферичної теореми косинусів, cos(c) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C), і виводить внутрішні кути та надлишок із трьох довжин дуг.
Комерційні авіалайнери, що летять між віддаленими містами, слідують маршрутами великих кіл, а не прямою лінією, накресленою на пласкій мапі Меркатора, бо велике коло — це справжній найкоротший шлях на глобусі: рейс із Нью-Йорка до Токіо насправді вигинається вгору поблизу Арктики. Сферична тригонометрія, розроблена астрономами та навігаторами за століття до супутників, і досі є основою небесної навігації, розрахунків позиції GPS і проєктування геодезичних структур. Сферичний трикутник, що охоплює октант Землі (одну восьму сфери), має три кути по 90°, суму кутів 270° і сферичний надлишок рівно 90° — форму, що не має плаского аналога.
Цей симулятор відображає сферичний трикутник на власноруч спроєктованому 3D-глобусі та обчислює його геометрію справжньою сферичною тригонометрією. Три точки на поверхні сфери, які можна перетягувати повзунками, з'єднані дугами великих кіл, і симулятор виводить центральний кут кожної дуги, кожен внутрішній кут і сферичний надлишок — величину, на яку сума кутів перевищує 180°, що за теоремою Жирара прямо пропорційна площі трикутника.
Кожна точка зберігається як пара широта/довгота, перетворюється на 3D одиничний вектор, потім обертається й ортографічно проєктується на полотно. Дуги великих кіл малюються сферичною інтерполяцією (slerp) між двома одиничними векторами; сферична теорема косинусів перетворює три довжини дуг на внутрішні кути трикутника.
Перетягніть полотно, щоб обертати глобус. Пересуньте шість повзунків широти/довготи, щоб перемістити точки A, B і C. Перемикайте сітку, вигнуті дуги великих кіл і прямі 3D-хорди, щоб побачити, чим "пряма лінія" крізь сферу відрізняється від найкоротшого шляху вздовж її поверхні.
Трикутник-октант — одна восьма сфери — має три прямі кути, суму кутів 270° і сферичний надлишок рівно 90° — форму, що не має жодного аналога в пласкій геометрії.
Кути плаского трикутника в сумі дають 180°, бо площина має нульову кривину. Сфера має додатну кривину, яка вигинає "прямі лінії" великих кіл так, що трикутник випинається назовні. Що більша площа трикутника відносно сфери, то більшою стає сума кутів понад 180°.
За двома довжинами дуг і кутом між ними cos(c) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C) обчислює третю довжину дуги. Застосувавши її тричі (по одному разу на вершину), симулятор може працювати у зворотному напрямку — від трьох довжин дуг до відновлення кожного внутрішнього кута.
Теорема Жирара стверджує, що площа сферичного трикутника дорівнює його сферичному надлишку E (у радіанах), помноженому на квадрат радіуса сфери: Площа = E·R². Це сферичний аналог того факту, що площа плаского трикутника залежить від основи й висоти, а не від кутів.
Дуга великого кола — найкоротший шлях уздовж поверхні сфери між двома точками. Пряма хорда — це 3D-відрізок, що проходить крізь внутрішній простір сфери. Порівняння їх наочно показує, чому "навпростець" на глобусі — це крива, а не пряма лінія, коли її накреслено на пласкій мапі.
Так. Кораблі й літаки планують далекі маршрути вздовж великих кіл, бо це найкоротший шлях на сфері. Небесна навігація та розрахунки GPS обидва спираються на ті самі формули сферичної тригонометрії, що реалізовані в цій симуляції.