🪐 Гравітаційна симуляція N тіл

Кожна пара тіл притягується одне до одного з силою F = G·m₁·m₂/r² (закон всесвітнього тяжіння Ньютона). Рівняння руху інтегруються методом RK4. Загальна задача трьох тіл не має аналітичного розв'язку й проявляє чутливу залежність від початкових умов (хаос). Утім, існують стійкі конфігурації — наприклад, орбіта-вісімка і точки Лагранжа. Клацніть на полотно, щоб додати нове тіло. 🇬🇧 English

Пресети

Тіл—
Час—
Кінетична E—
Потенціальна E—

Числові методи та хаос

RK4 інтегрує зв'язані ОДР: ẍᵢ = Σⱼ G·mⱼ·(xⱼ−xᵢ)/(|rᵢⱼ|²+ε²)^(3/2). Параметр пом'якшення ε запобігає сингулярностям при близьких зближеннях. Повна енергія (КЕ + ПЕ) та кутовий момент є наближено збереженими величинами — відстежуйте їх для оцінки якості інтегрування. Орбіта-вісімка трьох тіл (Шенсіне та Монтгомері, 2000) є точним розв'язком лише при специфічних масах і швидкостях; невелике збурення врешті порушує її стійкість — хаос у дії.

Про цю симуляцію

Ця симуляція розв'язує класичну задачу N тіл: кожна пара точкових мас притягується за законом Ньютона F = G·m₁·m₂/r², і попарні прискорення підсумовуються по всіх тілах щокадру. Рівняння руху інтегруються методом Рунге–Кутти 4-го порядку (RK4), а не простим методом Ейлера, що дає набагато кращу точність при тому самому кроці за часом. Всередині формули відстані додається параметр пом'якшення ε, щоб сила ніколи не «вибухала», коли два тіла проходять дуже близько одне до одного. Кінетична й потенціальна енергія відстежуються наживо як приблизна перевірка якості інтегрування — для трьох і більше тіл загального аналітичного розв'язку не існує, тож найменші зміни початкових положень чи швидкостей можуть спрямувати систему зовсім іншими, хаотичними шляхами.

🔬 Що показано

Чотири пресети: п'ятитільна система Сонце, пара Подвійна з легким третім тілом на орбіті, точна орбіта-вісімка трьох тіл і випадкова хмара тіл. Сліди показують форми орбіт, резонанси, близькі зближення й маневри гравітаційного прискорення, поки інтегратор RK4 обчислює положення та швидкість кожного тіла щокадру.

🎮 Як користуватися

Клацніть на полотні, щоб додати нове тіло з масою, заданою повзунком Маса нового тіла. Регулюйте G, щоб посилити чи послабити тяжіння, dt, щоб обміняти швидкість інтегрування на точність, Довжину треку, щоб бачити більше чи менше орбітальної історії, та Пом'якшення ε, щоб керувати згладжуванням близьких зближень. «Пауза» заморожує сцену, «Очистити» — спорожнює її.

💡 А чи знали ви?

Орбіта-вісімка трьох тіл — де три однакові маси нескінченно переслідують одна одну вздовж єдиної лемніскато-подібної траєкторії — була відкрита чисельно лише 1993 року й суворо доведена Шенсіне та Монтгомері 2000 року. Вона вимагає точного співвідношення мас і швидкостей; версія тут лише наближення, тож спостерігайте, як швидко вона розходиться під впливом інтегрування RK4 і похибок округлення.

Поширені запитання

Чому задача N тіл не має загального розв'язку?

Для двох тіл закон тяжіння Ньютона дає точні аналітичні орбіти (еліпси Кеплера). Щойно додається третє тіло, система зв'язаних диференціальних рівнянь зазвичай не має алгебраїчного розв'язку — Пуанкаре довів у 1890-х, що задача трьох тіл загалом неінтегровна. Цей симулятор обходить це, інтегруючи рівняння руху чисельно, крок за кроком, замість аналітичного розв'язання.

Чому використовується інтегрування RK4, а не простий метод Ейлера?

Метод Ейлера оновлює положення й швидкість, використовуючи лише прискорення на початку кроку, що швидко накопичує похибку і «зливає» енергію. Метод Рунге–Кутти 4-го порядку (RK4) натомість обчислює прискорення в чотирьох точках протягом кроку (стадії k1–k4) і поєднує їх у зваженому середньому, даючи похибку, що зменшується значно швидше зі зменшенням кроку dt — набагато краща довгострокова точність орбіт за подібної обчислювальної вартості.

Що саме робить параметр пом'якшення ε?

Сила тяжіння Ньютона 1/r² прямує до нескінченності, коли два тіла наближаються до r = 0, що надіслало б числа симуляції в нескінченність під час близького зближення. Пом'якшення замінює r² на r²+ε² всередині формули прискорення, обмежуючи максимальну силу на близькій відстані. Більше ε робить близькі зближення м'якшими, але менш фізично реалістичними; менше ε — точніше, але ризикує чисельним «вибухом» при високій швидкості чи великому dt.

Що таке орбіта-вісімка і чому вона врешті розпадається?

Вісімка — це періодичний розв'язок, у якому три однакові маси переслідують одна одну вздовж єдиної кривої у формі вісімки; його чисельно відкрив Крістофер Мур у 1993 році, а суворо довели Шенсіне та Монтгомері у 2000-му. Він існує лише за точної комбінації початкових положень, швидкостей і рівних мас. Оскільки цей симулятор використовує дискретний крок за часом і арифметику скінченної точності, найменші відхилення від цієї точної конфігурації зростають експоненційно — ознака хаосу — тож орбіта помітно розходиться після достатньої кількості обертів.

Як обчислюється гравітаційна сила між кожною парою тіл?

Щокадру симулятор проходить по кожній унікальній парі (i, j) і обчислює ньютонівську силу F = G·mⁱ·m⁅/r² вздовж лінії, що їх з'єднує, накопичуючи результуюче прискорення aⁱ = Σ⁅ G·m⁅·(r⁅−rⁱ)/(|r⁅−rⁱ|²+ε²)^(3/2) на кожному тілі. Це прямий, точний попарний підсумок (обчислення порядку n²), а не наближення на кшталт Барнса–Хата, тож він точний, але практичний лише для помірної кількості тіл, як тут.