Симулятор простого маятника, що порівнює дві моделі коливань: точне нелінійне рівняння маятника θ'' = -(g/L)sinθ, яке інтегрується чисельно методом Рунге-Кутти 4-го порядку (RK4), та наближення малих кутів θ'' = -(g/L)θ, яке має точний аналітичний розв'язок θ(t) = θ0 cos(ωt) з періодом T = 2π√(L/g). Обидва маятники стартують з нульової швидкості під тим самим початковим кутом θ0 і коливаються навколо спільної опори, тож можна спостерігати, як вони розходяться у фазі, оскільки справжній період стає довшим за передбачення наближення малих кутів. Змініть початкову амплітуду (5° до 170°), довжину маятника (0,3 м до 3 м) та гравітацію (Земля, Місяць або Марс), щоб побачити, як похибка періоду зростає від незначної при малих кутах до великої та очевидної біля 170°.
Справжній маятник підпорядковується нелінійному рівнянню θ'' = -(g/L)sinθ, де θ — кут відхилення від вертикалі, g — прискорення вільного падіння, а L — довжина маятника. Цей симулятор чисельно інтегрує саме це точне рівняння методом Рунге-Кутти 4-го порядку (RK4) з малим фіксованим кроком за часом, тож справжній рух — включно з тим, як він сповільнюється при великій амплітуді — випливає безпосередньо з фізики, а не з наближення. Поруч із ним другий маятник рухається за наближенням малих кутів θ'' = -(g/L)θ, отриманим заміною sinθ на θ для малих кутів. Це спрощене рівняння розв'язується точно: θ(t) = θ0 cos(ωt) з кутовою частотою ω = √(g/L) і періодом T = 2π√(L/g), який не залежить від амплітуди — класичний результат, що вивчається на кожному вступному курсі механіки.
Обидві моделі добре узгоджуються при малих розмахах, але розходяться зі зростанням амплітуди. Оскільки sinθ трохи менший за θ при θ > 0, відновлювальна сила в реальному маятнику слабша, ніж припускає модель малих кутів, тому справжній період завжди довший, і ця різниця зростає при великій амплітуді — прямуючи до нескінченності, коли θ0 наближається до 180°, де маятник ніби завмирає біля самої верхньої точки. Точний період строго виражається через еліптичний інтеграл, але цей симулятор вимірює його безпосередньо з траєкторії RK4, що є більш наочним і не менш точним підходом. Ця залежність періоду від амплітуди має практичне значення в інженерії: маятникові годинники точні саме тому, що їхній хід підтримує малу й сталу амплітуду коливань, а будь-яке застосування наближення малих кутів далеко поза межами його дії — у навчальних задачах з фізики, сейсмометрах чи конструюванні атракціонів — непомітно вносить саме таку похибку.
Що насправді показує ця симуляція?
Вона показує два маятники, відпущені з нульової швидкості під одним і тим самим початковим кутом, що коливаються навколо спільної опори. Один рухається за точним нелінійним рівнянням руху, чисельно інтегрованим методом RK4; інший — за наближенням малих кутів, яке має простий аналітичний розв'язок. З часом можна побачити, як вони розходяться у фазі, а панель телеметрії показує точний період, період малих кутів і відсоткову похибку між ними.
Чому наближення малих кутів не працює при великій амплітуді?
Наближення замінює sinθ на θ, що є точним лише при малих θ (у радіанах). При більших кутах sinθ помітно менший за θ, тож справжня відновлювальна сила слабша, ніж передбачає наближення. Слабша відновлювальна сила означає повільніше прискорення назад до вертикалі, тож реальний маятник коливається повільніше, і його період зростає — ефект, який модель малих кутів за своєю побудовою не здатна відтворити.
Чому використовується саме RK4, а не простіший метод?
Метод Рунге-Кутти 4-го порядку інтегрує рівняння руху з набагато вищою точністю на кожному кроці, ніж простіші методи, як-от метод Ейлера, і значно краще зберігає енергію при довгому інтегруванні. Оскільки ця симуляція вимірює точний період та відсоткову похибку, неточний інтегратор додав би числову похибку до фізичного ефекту, який демонструється, спотворивши порівняння.
Повзунок амплітуди задає початковий кут відхилення θ0 від 5° до 170°, з якого обидва маятники стартують у стані спокою. Повзунок довжини задає довжину маятника L від 0,3 м до 3 м, що змінює обидва періоди одночасно. Кнопки гравітації перемикають між Землею (9,81 м/с²), Місяцем (1,62 м/с²) і Марсом (3,71 м/с²), показуючи, як слабша гравітація розтягує обидва періоди.
Відсоткова похибка між точним періодом і періодом малих кутів залежить лише від амплітуди θ0, а не від довжини маятника чи місцевої гравітації. Довжина й гравітація однаково масштабують період малих кутів T = 2π√(L/g), і так само масштабують точний період, тож відношення між ними — а отже, й відсоткова похибка — не змінюється. Лише форма кривої sinθ відносно θ, яка залежить виключно від кута, визначає похибку.
Замість того щоб покладатися на наближення рядом чи повну формулу з еліптичним інтегралом, симулятор інтегрує справжню траєкторію RK4, починаючи зі стану спокою при θ0, і фіксує момент, коли кут перетинає нуль — це точно чверть повного коливання. Помноживши цей час чвертьперіоду на чотири, отримуємо справжній період безпосередньо з фізики, а момент перетину додатково уточнюється лінійною інтерполяцією для більшої точності.
При θ0, близькому до 180°, маятник стартує майже в перевернутому положенні рівноваги, де відновлювальна сила тяжіння практично нульова. Він набирає швидкість, віддаляючись від цієї точки, дуже повільно, тож час навіть на чверть коливання зростає необмежено. В ідеалізованій межі рівно 180° період стає нескінченним — маятник, принаймні математично, залишався б там назавжди.
Ні. Обидва маятники не мають затухання, щоб період можна було чисто вимірювати протягом багатьох коливань без втрати енергії — затухання призвело б до зміни амплітуди, а отже й періоду, з часом, що значно ускладнило б чесне порівняння «однакова амплітуда, однаковий час» на анімації.
Воно лежить в основі стандартної формули періоду маятникового годинника, що вивчається у вступній механіці, аналізу малих коливань пружин, ворітних механізмів та гармонічних осциляторів загалом, а також лінеаризованих рівнянь, що використовувалися в ранніх сейсмометрах та маятникових датчиках. Воно точне з похибкою до приблизно 1% аж до амплітуди близько 20-23 градусів, тому реальні маятникові годинники сконструйовано так, щоб тримати коливання саме такими малими.
Точність ходу маятникового годинника залежить від того, чи період залишається сталим незалежно від невеликих коливань амплітуди, спричинених накручуванням, температурою чи тертям в ходовому механізмі. Ця сталість справджується лише в режимі малих кутів, де період не залежить від амплітуди. Годинникарі свідомо тримають розмах у межах кількох градусів, щоб будь-яке відхилення амплітуди майже не змінювало період, зберігаючи точність годинника.