Тонкий шар рідини утримується гарячим знизу й холодним згори. Коли різниця температур мала, тепло просто дифундує вгору теплопровідністю і нічого не рухається. Щойно число Релея перевищує критичне значення Rac ≈ 1708, плавучість долає в'язке гасіння, і рідина спонтанно організовується в обертові конвекційні валки, які переносять тепло набагато ефективніше.
Ra = g·β·ΔT·H³ / (ν·κ) — число Релея
∂T/∂t + (u·∇)T = κ ∇²T — перенесення-дифузія температури
∂ω/∂t + (u·∇)ω = ν ∇²ω + g·β·∂T/∂x — завихреність із плавучістю
∇²ψ = -ω, u = ∂ψ/∂y, v = -∂ψ/∂x — функція течії
Шестикутні візерунки й валки, які ви тут бачите, також малюють поверхню Сонця: кожна яскрава «гранула» — це вершина конвекційної комірки приблизно розміром із континент, яка існує лише кілька хвилин, перш ніж знову опуститися.
Конвекція Релея-Бенара — це рух, спричинений плавучістю, який виникає в тонкому горизонтальному шарі рідини, рівномірно нагрітому знизу та охолодженому згори. Коли нагрівання достатньо сильне, нерухома рідина стає нестійкою й розпадається на правильні обертові конвекційні комірки, які називають валками.
Число Релея Ra — це безрозмірне відношення, що порівнює силу плавучості (яка рухає конвекцію) з гасівними ефектами в'язкості та теплової дифузії. Ra = (g·β·ΔT·H³)/(ν·κ). Більше Ra означає, що плавучість домінує і конвекція енергійніша.
Для шару рідини між двома твердими пластинами з умовою прилипання лінійна теорія стійкості передбачає, що конвекція вперше виникає при Ra_c ≈ 1708. Нижче цього значення тепло переноситься лише теплопровідністю і рідина залишається нерухомою; вище — нескінченно малі збурення наростають у конвекційні валки.
Наближення Бусінеска вважає густину рідини сталою всюди, окрім члена плавучості (гравітації), де враховуються малі зміни густини, спричинені температурою. Це суттєво спрощує рівняння, зберігаючи при цьому основну фізику теплової конвекції.
Серед усіх можливих збурень найшвидше наростає те, що має певну горизонтальну довжину хвилі (приблизно вдвічі більшу за глибину шару). Ця мода перемагає у конкуренції й організовує потік у рівномірно розташовані протилежно обертові валки — найменш енергозатратний спосіб переносити задане тепло.
Теплопровідність переносить тепло молекула за молекулою, повільно. Конвекція фізично переміщує гарячі об'єми рідини вгору, а холодні — вниз, переносячи теплову енергію масово. Вище Ra_c конвекційний тепловий потік швидко перевищує кондуктивний, що вимірюється числом Нуссельта.
Число Нуссельта Nu — це відношення повного теплоперенесення до того тепла, яке перенесла б сама лише теплопровідність. Nu = 1 означає відсутність конвекції; Nu > 1 означає, що конвекція посилює теплоперенос. Воно зростає зі збільшенням числа Релея.
Вона проявляється у грануляції поверхні Сонця, у мантії та зовнішньому ядрі Землі, в атмосфері у вигляді хмарних смуг і шестикутних комірок, в океанах і навіть у каструлі з нагрітим супом чи олією. Це один із найбільш вивчених прикладів формування візерунків.
Число Прандтля Pr = ν/κ порівнює дифузію імпульсу з тепловою дифузією. Рідини з низьким Pr (як рідкі метали) розвивають великомасштабні потоки, де домінує інерція, тоді як рідини з високим Pr (як олії) утворюють гладші, більш в'язкі валки. Воно формує текстуру конвекції.
Вона розв'язує 2D-модель Бусінеска на ґратчастій сітці: температура переноситься й дифундує, різниця температур створює силу плавучості, а оновлення функції течії / завихреності забезпечує нестисливе поле швидкості. Колір показує температуру, а стрілки — швидкість.