Охолоджуйте бозони до абсолютного нуля: нижче критичної температури Tc макроскопічна частина частинок переходить у найнижчий квантовий стан, утворюючи єдину когерентну матеріальну хвилю, описувану параметром порядку ψ(r,t).
Рівняння ГП:
iℏ dψ/dt = [-ℏ²/(2m) ∇² + V(r) + g|ψ|²] ψ
Пастка: V(r) = ½ m ω² r²
Томас-Фермі: μ = g |ψ|² + V(r)
Частка конденсату: N₀/N = 1 − (T/T⁽)³
Розщеплений крок:
ψ* = exp(−i dt/2 [V+g|ψ|²]/ℏ) ψ (r-простір)
ψ* = exp(−i dt ℏk²/2m) ψ* (k-простір, ШПФ)
ψ = exp(−i dt/2 [V+g|ψ*|²]/ℏ) ψ* (r-простір)Перший КБЕ було створено у JILA у 1995 році з атомів рубідію-87, охолоджених до 170 нанокельвінів — 170 мільярдних часток градуса вище абсолютного нуля. Корнелл, Вімен і Кеттерле отримали Нобелівську премію з фізики 2001 року за це відкриття.
Конденсат Бозе-Ейнштейна (КБЕ) — це стан речовини, який утворюється при охолодженні бозонів до температур поблизу абсолютного нуля. Нижче критичної температури Tc макроскопічна частина частинок займає найнижчий квантовий енергетичний стан, і всі їхні хвильові функції зливаються в єдину когерентну макроскопічну матеріальну хвилю, описувану одним параметром порядку ψ.
Рівняння Гроса-Пітаєвського (ГП) — це нелінійне рівняння Шрöдінгера, що керує динамікою КБЕ: iℏ dψ/dt = [−ℏ²/(2m) ∇² + V(r) + g|ψ|²] ψ. Нелінійний член g|ψ|² відображає середньопольові взаємодії між частинками, де g = 4πℏ²as/m пропорційне s-хвильовій довжині розсіяння as.
Метод розщепленого кроку Фур'є поділяє кожен часовий крок на кінетичний напівкрок (у просторі імпульсів через ШПФ, де лапласіан діагональний як −k²) і напівкрок потенціалу+взаємодії (у координатному просторі). Таке розщеплення операторів дає точність другого порядку та ефективно обробляє повну нелінійність ГП.
Квантові вихори — це топологічні дефекти, де фаза конденсату закручується на кратне 2π навколо точки нульової густини. На відміну від класичних вихорів, циркуляція квантована в одиницях h/m. При обертанні вихори впорядковуються у трикутні решітки Абрикосова — визначальну ознаку надплинності.
Заміна реального часу t на −iτ перетворює оператор еволюції в exp(−Hτ/ℏ), що експоненційно пригнічує всі збуджені стани відносно основного. Ітерація та нормування хвильової функції тому збігається до основного стану рівняння ГП без розв'язання задачі на власні значення.
Надплинність — це течія без в'язкості. Поле швидкості конденсату v = (ℏ/m) ∇θ є безвихровим скрізь, крім ядер вихорів, а рідина чинить опір збуренням нижче критичної швидкості Ландау. У розріджених атомних газах КБЕ та надплинність практично збігаються, тоді як у рідкому гелії-4 надплинна частка перевищує частку конденсату через сильні кореляції.
Для ідеального газу Бозе у 3D: Tc = (ℏ²/2πmkB) (n/ζ(3/2))2/3, де ζ(3/2) ≈ 2.612. Реальні атомні КБЕ утворюються нижче ~1 мкК; перший Rb-87 КБЕ з'явився при ~170 нК. У гармонічній пастці частка конденсату масштабується як N0/N ≈ 1 − (T/Tc)3.
При відштовхувальних взаємодіях (g > 0) профіль густини розширюється і в межі Томаса-Фермі набуває форми оберненого параболоїда: n(r) = (μ − V(r))/g. При притягальних взаємодіях (g < 0) хмара стискається і може колапсувати вище критичної кількості атомів. Сильне відштовхування знижує швидкість звуку та підвищує жорсткість конденсату відносно збурень.
Сатьєндра Нат Бозе (1924) і Альберт Ейнштейн (1925) теоретично передбачили явище конденсації. Перший експериментальний КБЕ у розрідженій атомній парі було отримано у червні 1995 року Еріком Корнеллом та Карлом Вімен (Rb-87, JILA) і незалежно Вольфгангом Кеттерле (Na, MIT). Усі троє отримали Нобелівську премію з фізики 2001 року.
Симуляція використовує 2D ізотропний гармонічний потенціал V(r) = ½ m ω² r², що імітує магнітні або оптичні дипольні пастки, які застосовуються в реальних експериментах з КБЕ. Частота пастки ω визначає природну довжину aho = √(ℏ/mω) і масштаб енергії ℏω. Збільшення ω стискає конденсат; зменшення — розширює хмару та зменшує пікову густину.
Конденсат Бозе-Ейнштейна (КБЕ) — п'ятий стан речовини, що виникає, коли бозони (частинки з цілим спіном) охолоджуються нижче критичної температури T_c і макроскопічна частка частинок «конденсується» в квантовий стан з найнижчою енергією. Всі частинки описуються єдиною хвильовою функцією — система поводиться як один гігантський квантовий об'єкт. Вперше передбачений Бозе і Ейнштейном у 1924–1925 роках, КБЕ експериментально отримали Корнелл і Вімен у 1995 році з атомів рубідію при температурі ~170 наноКельвін.
Симулятор розв'язує рівняння Гросса-Питаєвського — нелінійне рівняння Шредінгера для колективної хвильової функції ψ — методом розщеплених кроків Фур'є. Спостерігайте, як хмара атомів звужується від теплового розподілу до гострого піку конденсату, як виникають і взаємодіють квантові вихори при обертанні пастки.
Чим бозони відрізняються від ферміонів і чому це важливо для КБЕ?
Бозони (цілий спін: 0, 1, 2…) підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна — багато частинок можуть займати один квантовий стан. Ферміони (напівцілий спін: 1/2, 3/2…) підкоряються принципу Паулі — не більше однієї частинки на стан. КБЕ можливий лише для бозонів: при T < T_c вони «обирають» найнижчий стан масово, тоді як ферміони заповнюють рівні за принципом Паулі аж до рівня Фермі.
Як визначається критична температура конденсації?
Для ідеального газу бозонів у 3D: T_c = (ℏ²/2mk_B) · (n/ζ(3/2))^(2/3), де n — щільність частинок, m — маса, ζ(3/2) ≈ 2,612. Ця температура відповідає моменту, коли теплова довжина де Бройля λ_dB стає порівнянною з міжатомними відстанями і хвильові функції атомів починають перекриватись. Взаємодії між атомами і форма пастки зміщують T_c від ідеального значення.
Що таке рівняння Гросса-Питаєвського і що воно описує?
РГП: iℏ ∂ψ/∂t = [−ℏ²∇²/2m + V_ext + g|ψ|²]ψ, де ψ — хвильова функція конденсату, V_ext — потенціал пастки, g = 4πℏ²a_s/m — константа взаємодії (a_s — довжина розсіяння). Член g|ψ|² враховує середньопольову взаємодію між атомами: при g > 0 (відштовхування) конденсат стабільний; при g < 0 (притягання) може схлопнутись.
У надплинному конденсаті фаза хвильової функції ψ = √ρ·e^(iφ) повинна бути однозначною при обході по замкненому контуру: ∮∇φ·dl = 2πn, n = 0, ±1, ±2… Це квантування циркуляції: v = ℏ∇φ/m може лише кратно збільшуватися з кроком h/m. Вихор — точка, де |ψ|=0 (порожнина), навколо якої фаза намотується на 2π. На відміну від класичних вихорів, квантові мають точно визначений «заряд» n.
РГП містить кінетичний оператор −ℏ²∇²/2m (діагональний у просторі імпульсів) і потенціальний оператор V + g|ψ|² (діагональний у координатному просторі). Метод розщеплених кроків застосовує їх по черзі: половина кроку за часом у k-просторі (множення на e^(−iℏk²t/2m)), потім FFT → координатний простір → множення на e^(−i(V+g|ψ|²)t/ℏ) → зворотний FFT → ще половина кроку. Похибка — O(δt²), ефективність — O(N log N).
Замінивши t → −iτ в рівнянні Шредінгера, отримаємо дифузійне рівняння, де всі компоненти хвильової функції загасають з часом, але вищі стани загасають швидше — основний стан загасає найповільніше. Нормалізуючи ψ після кожного кроку τ, ми «дистилюємо» основний стан. Це чисельний аналог охолодження: уявний час — ефективна «обернена температура».
При сильному відштовхуванні (g|ψ|² ≫ ℏ²∇²/2m) кінетичним членом можна знехтувати: |ψ|² = max(0, (μ − V)/g), де μ — хімічний потенціал. Хмара має параболічний профіль густини з різкою межею. Наближення ТФ справедливе, коли Na_s ≫ a_osc (a_osc — розмір осциляторного стану пастки), тобто для великих конденсатів з багатьма частинками.
Резонанс Фешбаха дозволяє плавно змінювати довжину розсіяння a_s (і тим самим g) зовнішнім магнітним полем, переключаючи взаємодію між відштовхуванням і притяганням або навіть роблячи її нескінченно великою. Це дає безпрецедентний контроль: можна вивчати перехід від КБЕ до БКШ-надпровідника, спостерігати схлопування «бозонової зірки» або моделювати сильно корельовані системи.
У двовимірних системах теорема Мермена-Вагнера забороняє справжній КБЕ при T > 0. Проте при T < T_BKT вихори зв'язуються в пари вихор-антивихор, і система виявляє «квазідальній» порядок та надплинність без справжнього конденсату. Перехід БКТ спостерігається в тонких плівках ⁴He, ультрахолодних атомних газах у 2D і надпровідних плівках — це фундаментальне явище для квантових матеріалів.
Атомні інтерферометри на КБЕ досягають точності вимірювання гравітаційного прискорення δg/g ~ 10^−10 — на порядки краще за класичні гравіметри. Квантові симулятори на базі КБЕ відтворюють ґратчасті моделі конденсованих речовин (модель Хаббарда) з оптичними ґратками. NASA запустила «лабораторію холодного атому» (CAL) на МКС для вивчення КБЕ в мікрогравітації, де конденсати можна утримувати на хвилини замість секунд.