Стан кубіта — точка на цій сфері. Застосовуйте гейти, щоб обертати його.
Сфера Блоха — це стандартна геометрична картина одного квантового біта (кубіта). Кожен чистий стан кубіта відповідає рівно одній точці на поверхні одиничної сфери. Ця симуляція дозволяє керувати цією точкою напряму за допомогою повзунків або застосовувати фундаментальні квантові гейти й спостерігати обертання вектора стану в реальному часі.
|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩
r = (sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ)
P(|0⟩) = cos²(θ/2), P(|1⟩) = sin²(θ/2)
Хоча ортогональні квантові стани розташовані на 90° один від одного в гільбертовому просторі, на сфері Блоха |0⟩ та |1⟩ лежать на протилежних полюсах — на 180°. Ця «спінорна» поведінка з множником два — та сама математика, через яку електрон повертається до себе лише після повороту на 720°.
Що таке сфера Блоха?Сфера Блоха — це геометричне зображення чистих станів одного кубіта. Кожен чистий стан відповідає унікальній точці на поверхні одиничної сфери, причому північний і південний полюси відповідають базисним обчислювальним станам |0⟩ та |1⟩.
Як стан кубіта відображається на сфері?Чистий стан кубіта записується як |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ}sin(θ/2)|1⟩. Кути θ (полярний) і φ (азимутальний) розміщують вектор стану в точці (sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ) на одиничній сфері.
Що означають полюси сфери Блоха?Північний полюс (+z) — це стан |0⟩, а південний полюс (−z) — стан |1⟩. Точки на екваторі є рівними суперпозиціями |0⟩ та |1⟩, які відрізняються лише відносною фазою φ.
Гейт Паулі-X — це поворот на 180° навколо осі x. Це квантовий гейт НЕ (NOT): він міняє місцями |0⟩ та |1⟩, переводячи північний полюс у південний і навпаки.
Гейт Адамара H — це поворот на 180° навколо осі, що лежить посередині між x та z. Він переводить |0⟩ у (|0⟩+|1⟩)/√2 (точка +x на екваторі), створюючи рівну суперпозицію — відправну точку багатьох квантових алгоритмів.
Гейт S (фазовий) повертає стан на 90° навколо осі z, а гейт T — на 45°. Вони змінюють відносну фазу φ, не впливаючи на ймовірності вимірювання |0⟩ чи |1⟩.
Ймовірність виміряти |0⟩ дорівнює cos²(θ/2), а виміряти |1⟩ — sin²(θ/2). Вони залежать лише від полярного кута θ — висоти вектора стану вздовж осі z — а не від фази φ.
Оскільки стани кубіта еквівалентні з точністю до глобальної фази, ортогональні стани |0⟩ та |1⟩ розташовані на протилежних полюсах, на 180° один від одного на сфері, хоча в абстрактному гільбертовому просторі вони на 90°. Множник 1/2 узгоджує ці дві картини.
Так. Чисті стани лежать на поверхні, а змішані — всередині кулі. Повністю змішаний стан знаходиться в центрі. Ця симуляція візуалізує чисті стани, тому вектор завжди досягає поверхні.
Вона перетворює абстрактні комплексні амплітуди на інтуїтивну геометрію: однокубітні гейти стають поворотами, а алгоритми — послідовностями поворотів. Це робить її стандартною ментальною моделлю для міркувань про квантові схеми та їх налагодження.
Сфера Блоха — це геометричне зображення чистих квантових станів одного кубіта. Кожен можливий чистий стан кубіта відповідає унікальній точці на поверхні одиничної сфери: північний полюс представляє |0⟩, південний полюс — |1⟩, а всі точки на екваторі — рівні суперпозиції цих двох станів. Ця симуляція дозволяє напряму керувати вектором стану за допомогою повзунків або застосовувати стандартні квантові гейти (X, Y, Z, H, S, T) і спостерігати обертання в реальному часі на інтерактивній 3D-сфері, відрендереній за допомогою Three.js.
Сфера Блоха була формалізована у контексті ядерного магнітного резонансу Феліксом Блохом у 1946 році і відтоді стала стандартною ментальною моделлю для однокубітних квантових обчислень. Вона лежить в основі проєктування квантових гейтів, протоколів корекції помилок і аналізу декогерентності кубітів на реальному обладнанні, як-от надпровідні трансмони та кубіти на пастках іонів.
Сфера Блоха — це зображення всіх чистих станів одного кубіта на одиничній сфері. Північний полюс відповідає базисному стану |0⟩, а південний — |1⟩, тоді як усі інші точки на поверхні кодують квантові суперпозиції з різними амплітудами й фазами. Це стандартний геометричний інструмент для візуалізації та аналізу однокубітних операцій.
Використовуйте повзунок тета (полярний кут), щоб перемістити вектор стану від північного полюса (тета = 0, стан |0⟩) до південного полюса (тета = 180°, стан |1⟩). Повзунок фі (азимутальний) обертає вектор навколо осі z, змінюючи квантову фазу. Натискання кнопок гейтів (X, Y, Z, H, S, T) анімує поворот, що відповідає цьому гейту. Кнопка «Пауза» заморожує анімацію, а «Скинути» повертає стан до |0⟩. Також можна перетягувати полотно, щоб обертати камеру.
Кожна точка на екваторі (тета = 90°) є рівною суперпозицією |0⟩ та |1⟩, тобто вимірювання дає кожен результат з імовірністю 50%. Різні точки на екваторі відрізняються лише відносною фазою фі, яка впливає на інтерференцію в багатокубітних алгоритмах, але не впливає на ймовірності вимірювання одного кубіта. Точка +x (фі = 0) — це стан |+⟩, який отримують застосуванням гейта Адамара до |0⟩.
Чистий стан кубіта записується як |psi⟩ = cos(тета/2)|0⟩ + exp(i*фі)*sin(тета/2)|1⟩, де тета (від 0 до пі) — полярний кут, а фі (від 0 до 2*пі) — азимутальна фаза. Відповідний вектор Блоха r = (sin(тета)*cos(фі), sin(тета)*sin(фі), cos(тета)) — одиничний вектор, що вказує на поверхню сфери. Множник 1/2 у аргументі кута виникає тому, що стани кубіта утворюють систему спіну-1/2 і мають бути повернуті на 720° (а не 360°), щоб повернутися до себе.
У надпровідних квантових процесорах (наприклад, у IBM та Google) однокубітні гейти реалізуються мікрохвильовими імпульсами, які повертають вектор Блоха на точний кут навколо обраної осі. Інженери використовують сферу Блоха для візуалізації калібрування імпульсів і діагностики помилок гейтів. У спектроскопії ядерного магнітного резонансу (ЯМР) та МРТ та сама картина описує прецесію ядер зі спіном 1/2 у магнітному полі, а рівняння Блоха керують релаксацією до рівноваги.
Це поширена помилкова думка. Кубіт у суперпозиції перебуває у визначеному квантовому стані — конкретній точці на сфері Блоха — а не одночасно в двох станах. Суперпозиція означає, що при вимірюванні кожен результат має обчислювану ймовірність, а стан кубіта повністю описується двома кутами тета і фі. Суперпозиція уможливлює квантову інтерференцію: амплітуди можуть додаватися чи скасовувати одна одну при комбінуванні з іншими кубітами, і саме цей ресурс використовують квантові алгоритми.
Зображення назване на честь швейцарсько-американського фізика Фелікса Блоха, який запровадив рівняння Блоха у своїй статті 1946 року про ядерну індукцію, описавши динаміку частинок зі спіном 1/2 у магнітних полях. Геометрична картина сфери була неявно присутня в тій роботі й стала стандартною в квантовій оптиці та обчисленнях у наступні десятиліття. Блох поділив Нобелівську премію з фізики 1952 року з Едвардом Парселлом за розвиток методів ядерного магнітного резонансу.
Сфера Блоха тісно пов’язана зі сферою Пуанкаре, яка представляє стани поляризації фотона за допомогою тієї ж математичної структури. Вона також пов’язана із симуляціями квантової заплутаності: тоді як один кубіт живе на сфері Блоха, два заплутані кубіти потребують простору вищої розмірності, який неможливо так просто візуалізувати. Пов’язані симуляції включають конструктори квантових схем, прецесію спіну в магнітному полі та візуалізатори осциляцій Рабі, що показують кубіт, який циклічно переходить між |0⟩ і |1⟩ під дією резонансного впливу.
У корекції квантових помилок сфера Блоха допомагає візуалізувати декогерентність: шум змушує вектор стану стискатися до центру кулі (повністю змішаний стан), що відображає втрату квантової інформації. Релаксація T1 (розпад енергії) зсуває вектор до північного полюса, тоді як дефазування T2 стискає його до осі z. Коди корекції помилок, як-от поверхневий код, спрямовані на виявлення й усунення цих зсувів до їх накопичення, а інженери використовують томографію сфери Блоха — застосування багатьох вимірювань у різних базисах — щоб реконструювати поточний стан кубіта та оцінити точність гейтів.
Окрім однокубітної сфери Блоха, дослідники розробляють геометричні представлення вищої розмірності для багатокубітних і кудитних (d-рівневих) систем, наприклад функцію Хусімі Q та функцію Вігнера у фазовому просторі. Геометричні фази — найвідоміша з яких фаза Беррі — виникають, коли вектор Блоха кубіта переноситься по замкнутому контуру, і їх використовують у голономних квантових обчисленнях для побудови гейтів, стійких до певних типів шуму. Розуміння геометрії простору квантових станів також є центральним у галузі квантової інформаційної геометрії та проєктуванні оптимальних квантових сенсорів.