Квантовий мандрівник перебуває на одновимірній решітці й несе внутрішній двостановий "монетний" ступінь свободи (спін вгору / спін вниз). На кожному кроці до монети застосовується вентиль Адамара, після чого мандрівник зміщується вправо при спіні вгору або вліво при спіні вниз. Квантова інтерференція між суперпозиціями шляхів спричиняє балістичне розширення розподілу ймовірностей — σ ∝ t — замість дифузійного, як у класичному випадку — σ ∝ √t.
H = (1/√2) [[1, 1], — монета Адамара
[1,−1]]
Після монети: α'_n = (α_n + β_n)/√2
β'_n = (α_n − β_n)/√2
Зсув: α_n(t+1) = α'_{n-1}(t) |↑⟩ → вправо
β_n(t+1) = β'_{n+1}(t) |↓⟩ → вліво
σ_квантове ~ t/√2 (балістичне)
σ_класичне ~ √t (дифузійне)
Вважається, що квантові блукання пояснюють надзвичайну ефективність передачі енергії у фотосинтетичних комплексах (комплекс FMO). Вони також лежать в основі алгоритму пошуку Гровера, забезпечуючи квадратичне прискорення порівняно з класичним пошуком. Фізичні реалізації існують на фотонних чіпах, пастках іонів та надпровідних схемах.
Квантове блукання — квантовомеханічний аналог класичного випадкового блукання. Замість чітких кроків вліво або вправо, мандрівник перебуває в суперпозиції позицій. На кожному кроці оператор "монети" (тут — вентиль Адамара) застосовується до внутрішнього спінового стану, після чого умовний зсув переміщує мандрівника, створюючи інтерференцію між усіма шляхами одночасно.
Оператор Адамара H = [[1,1],[1,−1]]/√2 виступає квантовою монетою. Застосований до |↑⟩, він дає (|↑⟩+|↓⟩)/√2, а до |↓⟩ — (|↑⟩−|↓⟩)/√2. Ця збалансована суперпозиція з ключовою різницею знаків породжує асиметричний інтерференційний патерн, характерний для блукання Адамара.
У класичному блуканні σ ∝ √t (дифузійний транспорт). У квантовому блуканні конструктивна та деструктивна інтерференція між суперпозиціями шляхів змушує розподіл концентруватися біля країв, а не в центрі, що дає балістичний транспорт σ ∝ t. Після t кроків квантовий мандрівник дослідив O(t) позицій — квадратично швидше від класичного O(√t).
На відміну від гауссівського дзвону класичної дифузії, блукання Адамара дає бімодальний розподіл із двома виразними піками, що балістично розходяться, і центральною областю деструктивної інтерференції. Старт у |↑⟩ дає асиметричний розподіл, а (|↑⟩+i|↓⟩)/√2 — симетричний бімодальний патерн.
Повний стан |ψ⟩ = Σn (αn|↑⟩ + βn|↓⟩)|n⟩, де αn та βn — комплексні амплітуди ймовірності у вузлі n. Ймовірність знайти мандрівника в позиції n дорівнює |αn|² + |βn|². Симуляція відстежує ці комплексні амплітуди точно.
Оператор зсуву S переміщує мандрівника умовно на основі стану монети: |↑,n⟩ → |↑,n+1⟩ і |↓,n⟩ → |↓,n−1⟩. Один повний крок квантового блукання: (1) застосувати Адамар H до монети, (2) застосувати S для зсуву позиції. Повторення цих двох операцій і рухає блукання.
Квантові блукання лежать в основі прискорення пошуку Гровера, алгоритмів розрізнення елементів і моделей універсальних квантових обчислень. Вони також моделюють квантовий транспорт у фотосинтезі, топологічних ізоляторах та реалізовані на фотонних чіпах і пастках іонів.
Початковий стан монети кардинально змінює розподіл. Старт у |↑⟩ спричиняє зміщення вліво. Старт у |↓⟩ — вправо. Симетричний стан (|↑⟩+i|↓⟩)/√2 дає ідеально симетричний бімодальний розподіл. Ця чутливість до початкових умов не має класичного аналога.
Дискретне квантове блукання (реалізоване тут) застосовує оператор монети та зсув у дискретні цілі моменти часу, потребуючи внутрішнього ступеня свободи (монети). Безперервне квантове блукання еволюціонує під гамільтоніаном безпосередньо в просторі позицій без монети. Обидві моделі є універсальними для квантових обчислень.
Так. Якщо стан монети вимірюється (колапсує) на кожному кроці, квантова інтерференція руйнується і блукання повертається до класичної дифузійної поведінки з σ ∝ √t. Часткова декогеренція плавно інтерполює між квантовим балістичним і класичним дифузійним транспортом — це видно через повзунок декогеренції.
Так. Квантові блукання продемонстровано з одиночними фотонами у хвилевідних масивах, пастками іонів під дією лазерних імпульсів, нейтральними атомами в оптичних решітках і надпровідними кубітами. Ці експерименти підтверджують квадратичне прискорення і характерний бімодальний розподіл, передбачений теорією.
Ця симуляція виконує дискретне квантове блукання на одновимірній решітці з 401 вузла, точно відстежуючи комплексні амплітуди αn і βn монетного стану в кожному вузлі. На кожному кроці до внутрішнього спінового стану (вгору/вниз) застосовується монета Адамара H = [[1,1],[1,−1]]/√2, після чого умовний зсув переміщує амплітуду спін-вгору на один вузол вправо, а амплітуду спін-вниз — на один вузол вліво. Верхня панель показує ймовірність |ψ|² = |αn|² + |βn|², а нижня — класичний гаусів розподіл G(n,t) = exp(−n²/2t)/√(2πt) для порівняння, тож видно, як квантове балістичне розширення (σ ∝ t) випереджає класичну дифузію (σ ∝ √t) у реальному часі.
Дві синхронізовані гістограми: |ψ|² квантового мандрівника зверху і гаусів розподіл класичного випадкового блукання знизу. З накопиченням кроків квантовий розподіл розділяється на два балістичні піки, що рухаються до країв решітки, тоді як класична крива лишається єдиним дзвоном, що розширюється лише як √t. Пунктирні позначки σ на кожній панелі дозволяють порівнювати розширення напряму, а відношення σ_Q/σ_C на канвасі наближається до √2 при великих t.
«Кроків за кадр» керує швидкістю симуляції. «Початковий стан монети» перемикає між |↑⟩ (зміщення вліво), |↓⟩ (зміщення вправо) і симетричною суперпозицією (|↑⟩+i|↓⟩)/√2 (ідеально симетричні бімодальні піки) — зміна значення скидає блукання. Повзунок «Декогеренція γ» з ймовірністю γ на кожному кроці колапсує стан монети в кожному вузлі; наближаючи γ до 1, інтерференція зникає, і квантова гістограма поступово переходить до того ж √t-розширення, що й класична. Кнопки «Пауза»/«Скинути» керують анімацією, а кнопка «Інфо» відкриває повні рівняння та часті запитання.
Балістичне розширення O(t) квантового блукання проти дифузійного O(√t) класичного — те саме квадратичне прискорення, яке лежить в основі алгоритму пошуку Гровера. Квантові блукання також є провідною моделлю, що пояснює на диво ефективний перенос енергії у фотосинтетичних світлозбиральних комплексах, як-от FMO, і фізично реалізовані з одиночними фотонами у хвилевідних масивах, пастках іонів та надпровідних кубітах.
У кожному вузлі двокомпонентна амплітуда монети (α, β) множиться на матрицю H = [[1,1],[1,−1]]/√2, даючи нові амплітуди α' = (α+β)/√2 і β' = (α−β)/√2. Це точно та операція, яку симуляція виконує над буферами амплітуд на кожному кроці, перш ніж оператор зсуву перемістить α' на один вузол вправо, а β' — на один вузол вліво.
Оскільки амплітуди мандрівника в кожному вузлі конструктивно й деструктивно інтерферують, поєднуючись із сусідніх шляхів, маса ймовірності виштовхується до двох балістичних фронтів біля n ≈ ±t/√2, а не накопичується в центрі. Це дає стандартне відхилення σ, що зростає лінійно з t, тоді як у класичного гаусового порівняння на нижній панелі σ = √t — квадратично повільніше розширення.
Якщо монета встановлена в |↑⟩, уся амплітуда розміщується в α у центральному вузлі, і блукання з часом зміщується вліво; |↓⟩ дає дзеркально протилежний ефект і зміщення вправо; симетричний варіант (|↑⟩+i|↓⟩)/√2 рівномірно розподіляє амплітуду між α і β з різницею фаз 90°, що дає класичний симетричний бімодальний розподіл блукання Адамара. Решітка, оператор монети та правило зсуву однакові в усіх трьох випадках — різняться лише початкові амплітуди.
На кожному кроці з ймовірністю γ (значення декогеренції) симуляція вимірює стан монети у вузлі: обчислює ймовірність спін-вгору проти спін-вниз із поточних амплітуд, випадково колапсує до одного результату з відповідною вагою і обнуляє іншу компоненту. При γ = 0 блукання повністю когерентне й балістичне; при γ = 1 вимірюється кожен крок, і блукання поводиться точно як класичне випадкове блукання, а σ прямує до √t.
Симуляція виділяє масиви фіксованого розміру для 401 вузла (індекси від −200 до +200 відносно центру), щоб буфери амплітуд могли лишатися простими типізованими масивами, а не динамічно зростаючою структурою. Лічильник кроків обмежено так, щоб блукання зупинялося саме перед тим, як балістичний фронт досягне межі масиву, уникаючи штучного відбиття чи переходу через край.