Коли електрони в нейтральній плазмі зміщуються від положень рівноваги, відновлювальна кулонівська сила від відкритого позитивного іонного фону повертає їх назад. Іони фактично нерухомі на електронних масштабах часу (mі набагато більше mе), утворюючи фіксований рівномірний нейтралізуючий фон. Результатом є коливання на фіксованій частоті — плазмовій частоті — незалежно від довжини хвилі (холодна плазма).
E_k = i·ρ_k / (k·ε₀), мода k=0 встановлюється в нуль (нейтральність).v_new = v + (e/m)·E·dt, x_new = x + v_new·dt (позиції просуваються з кроком напівзміщення).ω_p = √(n·e² / (ε₀·mₑ))T_p = 2π / ω_p∂²φ/∂x² = −ρ/ε₀ → E = −∂φ/∂xБом-Гросс: ω² = ω_p² + 3v_th²k²
Ірвінг Ленгмюр відкрив плазмові коливання у 1928 р. під час вивчення електричних розрядів. Він назвав іонізований газ «плазмою» за аналогією з плазмою крові, адже вона нагадувала йому живу рідину, що несе частинки. Хвилі Ленгмюра — це електростатичний аналог звукових хвиль у нейтральному газі, але вони поширюються без зіткнень через колективні кулонівські взаємодії. У лазерно-плазмових прискорювачах ці хвилі розгойдуються до величезних амплітуд (електричні поля ГВ/м), прискорюючи електрони до ГеВ на відстані в міліметри.
Плазмові коливання, або хвилі Ленгмюра, — це швидкі коливання щільності електронів у плазмі, спричинені відновлювальною кулонівською силою, коли електрони зміщуються від положень рівноваги відносно нерухомого іонного фону. Електрони колективно коливаються на плазмовій частоті ω_p.
Плазмова частота: ω_p = √(n·e² / (ε₀·mₑ)), де n — концентрація електронів, e — заряд електрона, ε₀ — діелектрична проникність вакууму, mₑ — маса електрона. Примітно, що вона залежить лише від концентрації електронів — а не від хвильового вектора k — тому холодні хвилі Ленгмюра є недисперсійними.
У симуляції методом частинок у комірці (PIC) макрочастинки відслідковуються на обчислювальній сітці. Заряд проектується на комірки для обчислення електричного поля через рівняння Пуассона, потім поле інтерполюється назад до позицій частинок. Алгоритм чехарди (leapfrog) просуває позиції та швидкості у шаховому порядку, забезпечуючи відмінне довготривале збереження енергії.
Коли електрони зміщуються, відкритий позитивний іонний фон створює електричне поле, що тягне їх назад — як пружина. Ця відновлювальна кулонівська сила спричиняє коливання. Вважається, що іони нерухомі на електронних масштабах часу (m_i набагато більше m_e), забезпечуючи фіксований нейтралізуючий фон, що діє як відновлювальна пружина.
Для холодної плазми: ω = ω_p (недисперсійне — всі довжини хвиль коливаються з однаковою частотою). Для теплої плазми (Бом-Гросс): ω² = ω_p² + 3v_th²k², де v_th = √(k_B T/mₑ) — теплова швидкість. Це дає кінцеву групову швидкість v_g = 3v_th²k/ω, що дозволяє хвильовій енергії поширюватися.
Загасання Ландау — це безударне затухання плазмових хвиль, відкрите теоретично Левом Ландау у 1946 р. Електрони, що рухаються трохи повільніше за фазову швидкість хвилі, прискорюються (поглинаючи енергію з хвилі), а ті, що рухаються трохи швидше, гальмуються. Якщо повільних електронів більше ніж швидких (максвеллівський розподіл), результатом є загасання хвилі без жодних зіткнень.
Нижня панель відображає позицію (x) кожного електрона проти його швидкості (v_x). При малоамплітудних лінійних коливаннях електрони описують тонкі еліпси у фазовому просторі. При великих амплітудах нелінійні ефекти призводять до зламування хвилі та захоплення частинок — електрони обертаються по замкнених орбітах у вихорах фазового простору (дірки у фазовому просторі).
Щільність заряду ρ(x) обчислюється на сітці. Рівняння Пуассона ∂²φ/∂x² = −ρ/ε₀ розв'язується спектрально за допомогою ШПФ: у фур'є-просторі E_k = i·ρ_k / (k·ε₀), причому мода k=0 встановлюється в нуль (глобальна нейтральність). Обернене ШПФ дає E(x). Цей спектральний розв'язувач є точним для переодичних граничних умов і виконується за O(M log M).
При великих збуреннях домінують нелінійні ефекти. Синусоїдальна хвиля щільності загострюється і може зламатися. Електрони захоплюються у ямах електростатичного потенціалу хвилі, утворюючи вихори у фазовому просторі. Частота коливань зменшується (нелінійний зсув частоти), а енергія переходить від основної моди до гармонік.
Фізика хвиль Ленгмюра є основою: плазмової діагностики за допомогою зондів Ленгмюра (вимірювання n і T_e), лазерно-плазмових прискорювачів кільватерних хвиль (електрони ГеВ-рівня за міліметри), нагрівання плазми у термоядерних реакторах, іоносферного радарного зондування (EISCAT). Плазмова частота встановлює поріг відсічки: ЕМ-хвилі нижче ω_p не можуть поширюватися у плазмі (тому іоносфера відбиває AM-радіо).
Вища температура розширює розподіл швидкостей, збільшуючи частку резонансних електронів поблизу фазової швидкості. Це підсилює загасання Ландау, прискорюючи затухання амплітуди хвилі. Температура також додає поправки теплового тиску (член Бом-Гросс), роблячи хвилі дисперсійними та надаючи їм кінцеву групову швидкість. У симуляції підніміть повзунок Температури, щоб спостерігати дисперсію та загасання.
Ця симуляція візуалізує плазмові коливання (хвилі Ленгмюра): коли електрони в нейтральній плазмі зміщуються від рівноваги, відкритий позитивний іонний фон — нерухомий на електронних масштабах часу — створює відновлювальну кулонівську силу, яка тягне їх назад, електрони проскакують положення рівноваги та коливаються на характерній плазмовій частоті ωp = √(n·e²/(ε₀·mₑ)). Шейдер відображає це як біжучу хвилю густини електронів, частота якої підпорядковується дисперсійному співвідношенню теплої плазми Бома-Гросса ω² = ωp² + 3k²vth², тож підвищення повзунка температури наочно додає дисперсію та затухання огинаючої, подібне до загасання Ландау.
Світна горизонтальна смуга плазми, колір якої (помаранчевий = стиснення, синій = розрідження) відображає поздовжню хвилю густини електронів δn ∝ −cos(kx − ωt). Ледь помітні рухомі лінії позначають відновлювальне електричне поле, а яскраві дрейфуючі смуги — електрони, що рухаються крізь плазмовий стовп.
Змінюйте Густину плазми n, щоб напряму задати ωp (вища n → швидші коливання), Температуру (v_th), щоб додати дисперсію Бома-Гросса та загасання, Хвильове число k, щоб змінити просторову довжину хвилі, та Амплітуду, щоб керувати силою стиснення й розрідження густини. Живі показники відображають ωp, результуючу ω та vth; використовуйте ⏸ Пауза / ↺ Скинути або клавіші P/R для керування відтворенням.
Ірвінг Ленгмюр запровадив термін «плазма» у 1928 р., вивчаючи коливання в іонізованому газі та порівнюючи його з плазмою крові, що переносить частинки. Оскільки електромагнітні хвилі з частотою нижче плазмової не можуть поширюватися крізь плазму, іоносфера Землі відбиває сигнали AM-радіо назад до поверхні — та сама фізика, поріг якої можна дослідити тут.
Плазмова частота ωp = √(n·e²/(ε₀·mₑ)) — це природна швидкість, з якою зміщені електрони коливаються навколо нейтралізуючого іонного фону. Вона залежить лише від концентрації електронів n, а не від довжини хвилі, тож у холодній плазмі кожна хвиля Ленгмюра коливається з однаковою частотою. Це також поріг відсічки: електромагнітні хвилі з частотою нижче ωp не можуть поширюватися крізь плазму і натомість відбиваються.
Повзунок Густини плазми n напряму масштабує ωp, оскільки в нормалізованих одиницях симуляції ωp = √n. Збільшення n підвищує плазмову частоту та прискорює видиме коливання хвилі густини — точно так само, як вища концентрація електронів робить у реальній плазмі.
У теплій плазмі тепловий рух електронів змінює частоту коливань відповідно до ω² = ωp² + 3k²vth², де vth — теплова швидкість, а k — хвильове число. Підвищення повзунка Температури збільшує vth, що піднімає відображену ω вище ωp та додає повільне затухання огинаючої хвилі, відображаючи те, як загасання Ландау послаблює реальні теплі плазмові коливання.
Коли електрони зміщуються від нерухомих позитивних іонів, відкритий іонний заряд створює відновлювальне електричне поле, що тягне електрони назад — подібно до пружини. Оскільки іони значно масивніші за електрони, вони залишаються практично нерухомими на масштабі часу коливань електронів, тож ця відновлювальна сила постійно тягне електронну хмару туди й назад, а не дає їй розсіятися.
Ця візуалізація — це WebGL-шейдер реального часу, що відтворює правильні фізичні співвідношення (формула плазмової частоти та дисперсійне співвідношення Бома-Гросса напряму керують анімацією), а не повноцінний N-частинковий PIC-код, що інтегрує траєкторії окремих електронів. Вона створена, щоб сформувати інтуїцію про те, як густина, хвильове число та температура керують коливанням, використовуючи ті самі рівняння, яким підпорядковувався б PIC-розв'язувач.