⚙️ Колесо Максвелла

Колесо Максвелла (йо-йо на нитці) перетворює гравітаційну потенціальну енергію на поступальну та обертальну кінетичну під час спуску, а потім назад — під час підйому. Налаштовуйте розподіл маси колеса і спостерігайте, як змінюються період і максимальна швидкість.

🇬🇧 English
y = 0.000 м v = 0.000 м/с

Параметри колеса

Енергія

KE поступ.—
KE обертання—
PE гравіт.—
Сумарна E—
α = r²/(R²+r²)—
I = ½mR² (суцільний диск)
a = g/(1 + I/mr²)
= g·r²/(R²+r²)
T = 2√(2h/a)
ω_max = v_max/r

Обертальна динаміка

Коли колесо Максвелла опускається, нитка розмотується з осі (радіус r), і зростають як поступальна швидкість v, так і кутова ω, зв'язані умовою v = ω·r. Для суцільного диска момент інерції I = ½mR², тому рівняння руху дає прискорення a = g·r²/(R² + r²). При r≪R майже вся енергія переходить в обертання, і спуск дуже повільний. Колесо відскакує (без затухання) або поступово втрачає амплітуду через тертя в нитці (параметр β).

Про колесо Максвелла

Ця симуляція чисельно інтегрує спрощену модель колеса Максвелла — суцільного диска маси m і радіуса R, підвішеного на двох нитках, намотаних на тонку вісь радіуса r. На кожному кадрі анімації крок явного методу Ейлера просуває падіння з постійним прискоренням спуску a = g·r²/(R²+r²), що випливає з другого закону Ньютона для осі, що падає, разом з умовою кочення v = ω·r та моментом інерції суцільного диска I = ½mR². Коли колесо досягає верхньої або нижньої межі свого руху, швидкість змінює знак і масштабується множником (1−10β), що наближено моделює втрати в нитці й тертя, а гравітаційна, поступальна та обертальна кінетична енергія перераховуються й відображаються на графіку щокроку.

🔬 Що показує

Положення, обертання в реальному часі та тристоронній розподіл енергії — гравітаційна (PE), поступальна кінетична (KE поступ.) та обертальна кінетична (KE обертання) — під час спуску й підйому колеса, показані на графіку в часі та у вигляді фазової траєкторії v проти y, що показує, як змінюється амплітуда кожного циклу.

🎮 Як користуватися

Змінюйте Масу m, Радіус осі r та Радіус колеса R, щоб побачити, як прискорення спуску a = g·r²/(R²+r²) розподіляє вивільнену енергію між падінням і обертанням; збільшуйте Затухання β, щоб побачити, як стрибки зменшуються; використовуйте Скинути, щоб почати з нуля, і Пауза, щоб зупинити рух для розгляду.

💡 Чи знали ви?

Оскільки прискорення масштабується як r²/(R²+r²), колесо з віссю вдесятеро тоншою за обід падає з прискоренням лише близько 1% від вільного падіння — перетворюючи спуск, що у вільному падінні тривав би долі секунди, на уповільнений рух тривалістю в багато секунд, повністю за рахунок накопиченої обертальної інерції.

Поширені запитання

Що визначає, як швидко падає колесо Максвелла в цій симуляції?

На кожному кадрі симулятор застосовує постійне прискорення спуску a = g·r²/(R²+r²), яке випливає з другого закону Ньютона для осі, що падає, у поєднанні з умовою кочення v = ω·r та моментом інерції суцільного диска I = ½mR². Оскільки r набагато менше за R для реалістичного колеса, це прискорення становить лише невелику частку від g — більша частина вивільненої енергії має піти на розкручування диска, а не на прискорення падіння.

Чому колесо відскакує назад угору, а не падає крізь підлогу?

Коли змодельована висота y досягає нижньої межі (y = −H0) або нитка повністю перемотується вгорі (y = 0), код змінює знак швидкості й зменшує її величину на множник (1−10β), а потім продовжує інтегрування. Це імітує зміну напрямку руху нитки, коли вона перемотується на вісь наприкінці кожного реального спуску чи підйому.

Що саме контролює параметр затухання β?

β діє лише у двох точках повороту (вгорі й внизу), помножуючи швидкість відскоку на (1−10β) щоразу, коли колесо досягає крайньої точки. Він відображає втрати через згинання нитки й тертя осі; при β = 0 колесо відскакує вічно з постійною амплітудою, а при більшому β кожне наступне коливання помітно менше — подібно до затухаючого маятника, що втрачає енергію за кожен розмах.

Як обчислюється обертальна кінетична енергія?

Симулятор припускає суцільний однорідний диск, тому момент інерції I = ½mR² використовує зовнішній Радіус колеса R (а не тонкий радіус осі r). Кутова швидкість відновлюється з умови кочення як ω = v/r, а обертальна кінетична енергія дорівнює KE_обертання = ½Iω², яка показується поряд із поступальною KE_поступ. = ½mv² і гравітаційною PE = mg(y+H0), тому їхня сума (Сумарна E) залишається помітно сталою.

Що показує фазовий графік v проти y?

Він відображає кожну змодельовану пару (положення, швидкість) як точку, що поступово блякне, вимальовуючи траєкторію колеса у фазовому просторі. Без затухання ця траєкторія вічно повторювала б одну й ту саму замкнену петлю; зі збільшенням β наступні петлі стягуються до початку координат, наочно показуючи, як амплітуда коливань згасає — так само, як і на панелі енергії.