Метод Ньютона у комплексній площині

Щоб знайти корінь функції f(z), метод Ньютона ітерує z ← z − f(z)/f′(z). Коли z — комплексне число, те саме правило прокладає шлях по площині. Для більшості стартових точок шлях по спіралі сходиться до одного з коренів полінома.

Басейни притягання

Басейн кореня — це множина всіх стартових точок, які зрештою сходяться до нього. Кожному кореню ми даємо окремий колір і забарвлюємо кожен піксель за басейном, до якого він належить, роблячи його яскравішим за швидкої збіжності (мало ітерацій) і темнішим за повільної.

Фрактальна межа

Там, де басейни зустрічаються, картина ніколи не заспокоюється: скільки завгодно близько до точки, що прямує до кореня A, є точки, що прямують до коренів B та C. Ця межа — фрактал із вражаючою властивістю: кожна її точка дотикається до всіх басейнів одночасно.

Задача Келі

У 1879 році Артур Келі розв'язав випадок z² − 1 (межа басейнів — просто уявна вісь), але виявив, що z³ − 1 "становить значну складність". Ця складність і є фракталом — структурою, яку неможливо було побачити, доки комп'ютери не навчилися забарвлювати мільйони пікселів.

Релаксація та хаос

Над- або недорелаксований метод Ньютона використовує z ← z − a·f(z)/f′(z). За a = 1 маємо класичний Ньютон; зсуваючи a від 1 (або обираючи поліном на кшталт z³ − 2z + 2 з притягальними циклами), збіжність руйнується і відкриваються хаотичні області, що ніколи не сходяться.