Чотири правильні неопуклі зоряні многогранники, побудовані зоряненням
Перетягуйте полотно, щоб обертати вручну.
Тіла Кеплера–Пуансо — єдині чотири правильні зоряні многогранники: неопуклі тіла, чиї грані є правильними багатокутниками або зоряними багатокутниками (пентаграмами), розташованими однаково навколо кожної вершини — так само, як у Платонових тіл, — за винятком того, що їхні грані перетинаються між собою. Їхні символи Шлефлі використовують дріб 5/2 для позначення пентаграми ("зоряного п'ятикутника", утвореного діагоналями правильного п'ятикутника): малий зоряний додекаедр {5/2,5}, великий додекаедр {5,5/2}, великий зоряний додекаедр {5/2,3} і великий ікосаедр {3,5/2}. Кеплер описав перші два в 1619 році; Пуансо знайшов інші два в 1809 році, а Коші довів у 1813 році, що ці чотири тіла завершують перелік.
Цей симулятор геометрично будує кожне тіло з ікосаедра або додекаедра за допомогою зоряненням золотого перетину (φ): п'ятикутні грані видовжуються назовні через напрямки середин своїх ребер, утворюючи п'ятипроменеві зоряні грані, а п'ятикутні грані "вершинної фігури" збираються безпосередньо з сусідніх вершин базового ікосаедра. Побудова є достовірним наближенням для візуалізації — справжні діаграми зоряненням використовують точні перетини площин граней, які цей демонстратор спрощує фіксованим коефіцієнтом масштабування на основі φ.
Оскільки їхні грані самоперетинаються, наївна формула Ейлера V − E + F = 2 не виконується для цих тіл: малий зоряний додекаедр і великий додекаедр дають V − E + F = 12 − 30 + 12 = −6, тоді як великий зоряний додекаедр і великий ікосаедр дають 20 − 30 + 12 = 2 та 12 − 30 + 20 = 2 відповідно — це збігається випадково, а не через звичайний топологічний аргумент. Правильна узагальнена формула використовує щільність кожної грані (скільки разів вона обвивається навколо центра тіла); врахування щільності відновлює узгоджену топологічну картину для всіх чотирьох тіл. Тіла Кеплера–Пуансо також проявляються у дуальному зв'язку малого зоряного додекаедра з великим додекаедром — кожна пара поділяє те саме розташування ребер.
Цей симулятор будує чотири зоряні многогранники Кеплера–Пуансо з основи ікосаедра/додекаедра за допомогою зоряненням золотого перетину (φ), а потім рендерить їх у вигляді обертових каркасів на 2D-полотні за допомогою рукописної 3D-проєкції. Справжні опубліковані значення V, E, F (а не спрощена рендер-сітка) показані на панелі статистики.
П'ятикутні грані додекаедра (або п'ятикутники вершинних фігур ікосаедра), видовжені назовні за золотим перетином, утворюють п'ятипроменеві зоряні шипи, створюючи самоперетинні неопуклі тіла — спрощене, але геометрично обґрунтоване зоряненням.
Оберіть тіло у випадному списку. Увімкніть Автообертання й задайте Швидкість, або перетягуйте полотно, щоб обертати вручну. Перемикайте Товсті лінії та Колір за гранню для різних стилів рендерингу. Панель Статистика показує справжній символ Шлефлі, V, E, F та характеристику Ейлера для кожного тіла.
Луї Пуансо описав два з чотирьох зоряних многогранників у 1809 році, не знаючи, що Кеплер уже знайшов інші два майже за два століття до цього, у 1619 році, вивчаючи зоряні багатокутники та орбіти планет.
Пентаграма — це п'ятипроменевий "зоряний п'ятикутник", утворений діагоналями правильного п'ятикутника. У позначенні Шлефлі {n/d} дріб 5/2 означає "з'єднати кожну другу вершину п'ятикутної фігури", що утворює зоряну форму замість звичайного п'ятикутника {5}.
Правильність у сенсі Шлефлі вимагає лише, щоб усі грані були конгруентними правильними багатокутниками (або зоряними багатокутниками), а всі вершини були оточені однаково — це нічого не говорить про опуклість. Чотири тіла Кеплера–Пуансо задовольняють цю сувору локальну правильність, навіть попри те, що їхні грані глобально проходять одна крізь одну.
Формула Ейлера V − E + F = 2 припускає, що поверхня тіла топологічно є простою сферою. Самоперетинні зоряні многогранники мають грані, які обвиваються навколо центра більше одного разу (властивість, яку називають щільністю), що порушує це припущення і дає інші значення V − E + F.
Його дванадцять п'ятикутних граней — це "вершинні фігури" ікосаедра: для кожної з 12 вершин ікосаедра п'ять сусідніх вершин є компланарними (за симетрією) і утворюють правильний п'ятикутник, який стає однією гранню великого додекаедра.
У природних кристалах — ні, оскільки справжня 5-кратна симетрія заборонена в періодичних кристалічних ґратках, але зоряні многогранники популярні в математичному мистецтві, паперових моделях і трапляються на емблемах деяких університетів та у творах у стилі Ешера, що прославляють геометрію многогранників.