Карта Ікеди походить з нелінійної оптики. У 1979 році Кенсуке Ікеда показав, що світло, яке циркулює всередині кільцевого резонатора з нелінійним (керрівським) середовищем — пристрою, близького до нелінійного резонатора Фабрі–Перо, — набуває фазового зсуву, що залежить від власної інтенсивності світла. Оскільки резонатор подає власний вихідний сигнал назад на вхід кожного наступного проходу, ця залежна від інтенсивності фаза перетворює простий оптичний резонатор на справжню хаотичну динамічну систему. У 1980 році Ікеда, Дайдо і Акімото (разом із пов'язаною роботою Хеммела, Джонса і Молоні) звели неперервну динаміку проходів до дискретної двовимірної дійсної карти, яка використовується тут: t_n = k − p/(1 + x_n² + y_n²), x_{n+1} = A + B(x_n cos t_n − y_n sin t_n), y_{n+1} = B(x_n sin t_n + y_n cos t_n). Фізично A — амплітуда зовнішнього поля, що збуджує резонатор; B — загасання (дисипація) за один прохід (B < 1 означає, що резонатор втрачає енергію на кожному проході); k — фіксована лінійна фазова розстройка; p визначає силу нелінійного фазового зсуву, що зростає з локальною інтенсивністю x_n² + y_n².
За класичних параметрів A = 1, B = 0.9, k = 0.4, p = 6 карта встановлюється на прекрасному спіральному дивному атракторі: точки біля початку координат виштовхуються назовні й закручуються залежним від інтенсивності обертанням, а потім притягуються назад дисипацією, утворюючи нескінченно деталізовану спіраль, що ніколи не замикається сама на себе. Ця структура безпосередньо стосується нелінійної оптики й фізики лазерів, пояснюючи оптичну бістабільність, самопульсацію та явища переходу до хаосу, що спостерігаються в реальних експериментах із кільцевими резонаторами й лазерами. Симуляція нижче засіває розсіювання паралельних початкових умов поблизу початку координат та ітерує карту вперед одночасно для всіх них, накопичуючи кожну точку на полотні кадр за кадром, тож спіраль поступово проявляється повністю. Повзунки B (дисипація) і p (фаза) дозволяють досліджувати карту неперервно — від простої поведінки з нерухомою точкою до повного хаосу.
Що таке карта Ікеди і звідки вона походить?
Карта Ікеди — це дискретна за часом модель світла, що відбивається всередині нелінійного оптичного кільцевого резонатора. Кенсуке Ікеда представив фізичну основу в 1979 році для опису оптичної бістабільності в резонаторі з керрівським нелінійним середовищем; Ікеда, Дайдо і Акімото потім вивели спрощену двовимірну дійсну карту, що використовується в більшості симуляцій, включно з цією, у 1980 році. Це один із найперших і найвпливовіших прикладів хаосу, виявленого безпосередньо в оптичному контексті, а не в гідродинаміці чи популяційній біології.
Що фізично означають параметри A, B, k і p?
A — амплітуда зовнішнього лазерного поля, що вводиться в резонатор. B — дисипація за один прохід: частка амплітуди поля, яка зберігається після проходу крізь резонатор і вихідне дзеркало, тому B < 1 завжди забирає енергію. k — фіксований лінійний фазовий зсув за один прохід. p визначає силу нелінійного (керрівського) фазового зсуву, який залежить від локальної інтенсивності x_n² + y_n²: яскравіші точки закручуються на інший кут, ніж тьмяні, і саме це залежне від інтенсивності закручування робить карту справді нелінійною і врешті хаотичною.
Чому атрактор утворює спіраль?
Кожна ітерація обертає точку на кут t_n, що залежить від її відстані до початку координат, потім масштабує її коефіцієнтом дисипації B і зсуває назад до околу A. Точки далеко від початку координат зазнають більшого нелінійного фазового зсуву, ніж точки поблизу нього, тому кут обертання неперервно змінюється з радіусом. Повторення такого залежного від радіуса обертання тисячі разів закручує сусідні точки в дедалі щільніші спіральні рукави, утворюючи характерний завихрений дивний атрактор замість простої замкненої петлі.
На відміну від хаотичних карт, що зберігають площу, таких як стандартна карта чи «kicked rotor», карта Ікеди дисипативна, коли B < 1: кожна ітерація зменшує площі у фазовому просторі приблизно в B² разів. Ця дисипація є вирішальною — саме вона дозволяє нескінченній спіралі ітерацій згорнутися у скінченний за площею дивний атрактор, а не заповнити всю площину. При B = 1 карта зберігала б площу і поводилася б зовсім інакше; при подальшому зменшенні B атрактор стає дедалі більш стиснутим, а зрештою динаміка спрощується до періодичної поведінки чи нерухомої точки.
Зменшення p послаблює нелінійний фазовий доданок p/(1 + x² + y²), тож кут обертання t_n змінюється значно менше по всьому атрактору, і закручування, що будує спіраль, здебільшого вимкнене. У цьому режимі більшість або всі засіяні початкові умови сходяться до однієї нерухомої точки чи короткого періодичного циклу замість дифузної спіралі — це можна побачити безпосередньо за допомогою пресету «Режим малого p», де хмара точок стискається до одного-двох щільних кластерів замість того, щоб розповсюдитися в атрактор.
Коли p наближається до класичного значення 6 і перевищує його (при B близько 0.9), нелінійний фазовий зсув стає достатньо сильним, щоб сусідні траєкторії багаторазово розтягувалися і згорталися — два необхідні складники хаосу. Результатом є повністю розвинений спіральний дивний атрактор: нескінченна, самоподібна структура з фрактальним поперечним перерізом, щільно заповнена паралельними початковими умовами симуляції після достатньої кількості ітерацій.
Так. Фізика, що лежить в основі карти, — залежний від інтенсивності показник заломлення (оптичний ефект Керра) у поєднанні зі зворотним зв'язком резонатора — це саме той механізм, що стоїть за оптичною бістабільністю, нестабільностями самопульсації та хаотичною вихідною інтенсивністю, які спостерігаються в реальних експериментах із нелінійними кільцевими резонаторами й лазерами з кінця 1970-х і 1980-х років. Карта Ікеди стала стандартним теоретичним еталоном саме тому, що її прогнози можна було перевірити — і їх перевіряли — у настільних оптичних експериментах.
У хаотичному режимі — так: дві початкові точки, що стартують надзвичайно близько одна до одної, після достатньої кількості ітерацій опиняються в зовсім різних частинах спіралі, що є ознакою детермінованого хаосу. Ця симуляція демонструє це опосередковано: засіювання сотень близьких початкових умов та їх паралельна ітерація призводить до того, що спочатку щільне скупчення розширюється й прокреслює весь атрактор, замість того щоб залишатися згрупованим.
Одна траєкторія, ітерована протягом багатьох кроків, зрештою прокреслює той самий атрактор, оскільки карта на ньому ергодична, але для візуального заповнення це вимагає багатьох ітерацій. Засіювання розсіювання від кількасот до кількох тисяч початкових точок і паралельна ітерація всіх їх вперед протягом кількох сотень кроків кожної набагато швидше виявляє загальну форму атрактора — або розташування нерухомої точки, — оскільки кожна точка одночасно робить свій частковий внесок.