Зерна піску течуть через отвір лійки за законом витікання Беверлоо. Звужте отвір повзунком, щоб спостерігати за імовірнісним утворенням склепінь, що блокують потік — класична промислова проблема закупорки.
Беверлоо: Q = C · ρ · √g · (D − k·d)^2.5
Нормальна сила: Fn = k_n · δ − γ · v_n
Тертя: Ft ≤ μ · |Fn|
Імов. закупорки: P_clog ∝ exp(−α · (D/d − 1))
Рівняння Беверлоо було виведено у 1961 році В.А. Беверлоо та колегами, які вивчали витікання насіння із силосів. Попри емпіричне походження, воно залишається стандартною інженерною формулою для проектування бункерів — від зернових елеваторів до фармацевтичних таблеткових пресів.
Що таке закон Беверлоо для гранулярної течії?
Закон Беверлоо стверджує, що масова витрата через отвір бункера масштабується як Q ~ C·ρ·√g·(D − k·d)2.5, де D — діаметр отвору, d — діаметр зерна, k ≈ 1.5 враховує порожню кільцеву зону біля стінки. На відміну від рідин, витрата не залежить від висоти завдяки ефекту Янссена.
Що спричиняє утворення склепінь у бункерах?
Утворення склепіння відбувається, коли зерна біля отвору вишиковуються у механічно стійку арку, що перекриває отвір і блокує потік. Це стохастичний процес: кожне зерно має певну імовірність зайняти місце в арці. Вужчі отвори (менше D/d) різко підвищують імовірність закупорки за експоненціальним законом P ∝ exp(−α(D/d − 1)).
Як працює метод дискретних елементів (МДЕ)?
МДЕ моделює кожне зерно як м'яку сферу. Коли два зерна перекриваються на величину δ, застосовується нормальна відштовхувальна сила Fn = k_n·δ − γ·v_n (модель пружина–демпфер). Також обчислюється тангенціальна сила тертя (обмежена законом Кулона). Другий закон Ньютона інтегрується з малим кроком для просування позицій і швидкостей.
Перехід до закупорки — момент, коли гранулярний матеріал переходить від рідиноподібної (текучої) до твердоподібної (закупореної) поведінки. У бункерах це визначається відношенням D/d: нижче D/d ≈ 4–5 імовірність закупорки стає дуже великою і потік зупиняється майже одразу після початку.
На відміну від рідин, де гідростатичний тиск зростає з глибиною, гранулярні матеріали передають напруження на стінки контейнера через силові ланцюги (ефект Янссена). Тиск біля отвору швидко насичується і стає незалежним від висоти насипу, тому витрата за Беверлоо також не залежить від висоти.
Константа k ≈ 1.5 представляє кількість діаметрів зерен порожнього кільця біля краю отвору, де зерна не можуть центруватися. Вона враховує виключений об'єм біля стінки, тому ефективна ширина потоку дорівнює (D − k·d), а не D.
Силові ланцюги — квазілінійні мережі частинок, що переносять більшість стискальних напружень у гранулярному середовищі. Стабільне склепіння біля отвору — це вигнутий силовий ланцюг, що перенаправляє вагу зерен вище на бічні стінки бункера, запобігаючи виштовхуванню зерен через щілину.
Несферичні (кутасті або видовжені) зерна закупорюються значно легше, ніж сфери, оскільки їхня геометрія зчеплення створює міцніші склепіння. Рис і сочевиця, наприклад, закупорюються за більших відношень D/d, ніж скляні кульки. У цій симуляції використовуються кругові диски (2D-сфери).
Так. Зовнішня вібрація (постукування, струшування) порушує положення зерен достатньо, щоб дестабілізувати склепіння і відновити потік. Це широко використовується на промислових силосах. У цій симуляції можна натиснути на полотно, щоб застосувати локальний імпульс і розблокувати закупорку.
Моделі витікання з бункера необхідні для проектування фармацевтичних таблеткових машин, зернових силосів, вугільних бункерів, цементних заводів, харчових бункерів та 3D-принтерів з порошковим ліжком. Уникнення несподіваних закупорок запобігає простоям виробництва, пошкодженням обладнання та лавинному розвантаженню після ручного прочищення.
Ця симуляція показує гранульований потік сипучого матеріалу через отвір бункера за допомогою методу дискретних елементів (DEM): кожна зернина — це диск, який при контакті з сусідами створює пружно-демпферну нормальну силу та обмежену законом Кулона силу тертя. Гравітація тягне зерна донизу через лійку, а швидкість витікання підпорядковується емпіричному закону Беверлу, Q ~ C·√g·(D − k·d)^2.5, де D — ширина отвору, а d — діаметр зерна. Якщо звузити отвір достатньо сильно, потік не просто сповільнюється — він може повністю заклинити, коли зерна утворюють самопідтримувану арку над щілиною; цей перехід стохастичний, а не плавний. Колір кожної зернини відображає її миттєву швидкість, тож можна спостерігати, як під час спорожнення купи виникають ланцюги сил і застійні зони.
Кольорові диски течуть із бункера крізь вузький отвір, час від часу застигаючи в арку, яка повністю зупиняє потік. Живі показники відстежують кількість зерен, виміряну швидкість витікання Q, співвідношення D/d та скільки разів бункер уже заклинювало, а накладення на канвасі порівнює реальне витікання з теоретичним прогнозом за законом Беверлу.
Перетягуйте повзунок Ширина отвору (D) від 2.5d до 10d, щоб керувати тим, наскільки легко зерна вислизають; нижче приблизно 4–5d заклинювання стає частим. Тертя μ (0–0.9) робить арки більш чи менш стійкими, Розмір зерна d (0.6–1.6) масштабує диски, а Гравітація g (0.3–3.0) прискорює або сповільнює витікання. Кнопками Pause/Reset можна зупинити чи перезапустити симуляцію, а клік або дотик по канвасу струшує бункер і руйнує затор.
Заклинювання сипучих матеріалів не потребує ані клею, ані зчеплення — достатньо самої геометрії та тертя. Жменька зерен, що утворили арку над отвором, здатна витримати вагу цілого силосу над нею, тому реальні бункери використовують вібратори, повітряні струмені чи механічні мішалки, а не покладаються лише на гравітацію.
Закон Беверлу описує, як масова швидкість витікання Q через отвір бункера залежить від розміру отвору: Q ~ C·ρ·√g·(D − k·d)^2.5, де D — ширина отвору, d — діаметр зерна, g — гравітація, а k ≈ 1.5 враховує порожню зону біля стінки, куди зерна не можуть дістатися центром. Симуляція накладає цю теоретичну криву поруч із виміряною швидкістю потоку.
Заклинювання — процес стохастичний, а не поступовий. Коли зерна наближаються до отвору, вони часом фіксуються в механічно стійку арку, що перекриває щілину і передає вагу зерен над нею вбік, на стінки бункера. Щойно арка утворилася, потік зупиняється різко, а не поступово згасає — саме тому лічильник "Clogs" збільшується стрибками.
Він задає розмір щілини внизу бункера в одиницях діаметра зерна d, від 2.5d до 10d. Нижче співвідношення приблизно 4–5d арки утворюються настільки легко, що бункер заклинює майже одразу; вище приблизно 6–7d потік практично безперервний і добре відповідає прогнозу Беверлу.
Клік створює локальний імпульс для сусідніх зерен, імітуючи вібрацію чи постукування, якими на реальних промислових силосах усувають затори. Якщо бункер заклинило, влучний клік порушує арку достатньо, щоб вона розсипалася і потік відновився — саме так і працює механіка "струсити й розблокувати" в цій симуляції.
Тертя μ (0–0.9) визначає, наскільки сильно зерна опираються ковзанню одне повз одне; вище тертя робить арки стійкішими, а заклинювання — частішим навіть при ширших отворах. Гравітація g (0.3–3.0) масштабує силу, що тягне зерна донизу, тож вища гравітація прискорює витікання, але сама по собі не запобігає утворенню арки, адже заклинювання визначається геометрією не менше, ніж силою.