🧲 Сила Лоренца — Заряджена Частинка в ЕМ Полях

Робота визначається як скалярний добуток F · ds = F · v dt. Магнітна складова сили Лоренца F_B = qv × B завжди перпендикулярна v за визначенням векторного добутку. Тому F_B · v = 0 для будь-якого v, тобто магнітна сила в кожен момент виконує нульову роботу. Вона може лише змінювати напрямок руху, але не швидкість. Тому заряджена частинка в чисто магнітному полі зберігає сталу кінетичну енергію — її швидкість не змінюється, змінюється лише напрямок.

Коли заряджена частинка рухається перпендикулярно до однорідного магнітного поля B, вона рухається по колу радіусом r_L = mv⊥/(|q|B), де m — маса частинки, v⊥ — швидкість перпендикулярно до B, а |q| — модуль заряду. Важчі частинки (більша m) і швидші частинки (більша v⊥) рухаються по ширших спіралях; сильніші поля або більший заряд дають вужчі кола. Для протона в екваторіальному магнітному полі Землі (B ≈ 3×10⁻⁵ Тл) зі швидкістю 10⁷ м/с r_L ≈ 3,5 км — це визначає радіус захоплених частинок радіаційних поясів Землі.

Коли заряджена частинка обертається у перехресних полях E і B (E ⊥ B), кожен оберт трохи розтягується з одного боку (де E прискорює частинку, збільшуючи радіус) і стискається з іншого (де E сповільнює її). Сумарний ефект — стабільний боковий дрейф зі швидкістю v_drift = (E × B) / B², перпендикулярний до E і B. Важливо, що і більша, і менша півкола однаково масштабуються з m та q, тому v_drift не залежить від маси і заряду частинки. Це означає, що позитивні й негативні частинки дрейфують в одному напрямку — на відміну від градієнтного дрейфу — і цей ефект створює сумарну швидкість плазми, яку використовують у моделях утримання термоядерних реакторів.

Циклотрон — це прискорювач частинок, який використовує статичне магнітне поле, щоб викривити пучок протонів чи іонів у спіральну траєкторію, та змінне електричне поле на «D»-електродах (дуантах) для прискорення частинки щоразу, коли вона перетинає проміжок. Оскільки період циклотрона T = 2πm/(|q|B) не залежить від швидкості частинки (для нерелятивістських частинок), та сама радіочастота резонує з частинкою протягом усього прискорення. Перші циклотрони (Лоуренс, 1930) досягали кількох МеВ; сучасні секторно-фокусувальні циклотрони досягають 500–600 МеВ для протонної терапії при лікуванні раку, доставляючи дозу до пухлин з міліметровою точністю.

Якщо початкова швидкість зарядженої частинки має складову v‖, паралельну до B, на додачу до v⊥ перпендикулярної до B, магнітна сила діє лише на v⊥, створюючи круговий рух у площині, перпендикулярній B. Тим часом v‖ залишається незмінною і несе частинку вздовж B. Комбінований рух — це гвинтова лінія: радіус r_L = mv⊥/(|q|B), крок = v‖T = 2πmv‖/(|q|B). Саме так енергійні електрони сонячного вітру рухаються спіраллю вздовж силових ліній магнітного поля Землі до полярних областей, створюючи північне та південне полярні сяйва.

Коли провідник зі струмом розміщений у магнітному полі, перпендикулярному до струму, сила Лоренца відхиляє носії заряду (електрони або дірки) до одного боку провідника, створюючи поперечне електричне поле (поле Холла), яке врівноважує подальше відхилення. У сталому стані E_Hall = v_drift × B. Вимірювання напруги Холла на провіднику дає знак носіїв заряду (позитивні дірки чи негативні електрони) і їхню концентрацію n: V_H = IB/(nqt), де t — товщина провідника. Сучасні датчики Холла (у безщіткових двигунах, датчиках швидкості коліс ABS, джойстиках) використовують цей ефект для безконтактного визначення положення і струму.

Магнітне дзеркало — це область зростаючої напруженості поля на кінцях магнітної пастки. Коли частинка, що рухається гвинтом, наближається до сильнішого поля, її перпендикулярна швидкість v⊥ зростає (збереження магнітного моменту: μ = mv⊥²/2B = const), а паралельна швидкість v‖ зменшується для збереження енергії. Якщо частинка досягає точки дзеркала до того, як вирветься, v‖ → 0, і частинка відбивається. Цей принцип використовувався в ранніх експериментах термоядерного синтезу (наприклад, Mirror Fusion Test Facility в LLNL). Радіаційні пояси Ван Аллена Землі — природні магнітні дзеркала: частинки відбиваються між північним і південним магнітними полюсами, залишаючись захопленими роками.

Так — на швидкостях, близьких до c, релятивістська форма другого закону Ньютона має вигляд d(γmv)/dt = q(E + v × B), де γ = 1/√(1 − v²/c²) — фактор Лоренца. Релятивістський радіус циклотрона стає r_L = γmv⊥/(|q|B), тож швидші частинки рухаються ширшими спіралями. Важливо, що T = 2πγm/(|q|B) тепер залежить від γ (тобто від швидкості), тому простий циклотронний резонанс порушується. Це «релятивістське розстроювання» — причина, чому синхротрони (як у ВАК ЦЕРН) змінюють магнітне поле B у міру прискорення пучка, підтримуючи резонанс за рахунок зростання B пропорційно γm.

У магнітному полі з просторовим градієнтом ∇B (що змінюється за величиною, але не напрямком), частинка, що обертається, проводить більше часу з боку слабшого поля (більший радіус обертання), ніж з боку сильнішого поля (менший радіус). Ця асиметрія створює сумарний дрейф v_∇B = (mv⊥²/2|q|) · (B × ∇B) / B³. На відміну від дрейфу E×B, градієнтний дрейф залежить від знаку заряду: позитивні й негативні частинки дрейфують у протилежних напрямках, створюючи сумарний струм у плазмі. У магнітосфері Землі градієнтний дрейф спричиняє кільцевий струм — пояс струму, що тече на захід на відстані 3–5 радіусів Землі й відповідає за магнітні бурі, які фіксують на поверхні.

Магнетрон — це вакуумна лампа з перехресними полями: електрони, випущені з центрального катода, одночасно притягуються радіально до зовнішнього анода (електричне поле E, спрямоване радіально назовні) та відхиляються азимутально осьовим магнітним полем B. Сила Лоренца (дрейф E×B) змушує електрони обертатися навколо катода. Резонансні порожнини, вирізані в аноді, налаштовані на 2,45 ГГц; електрони взаємодіють із цими порожнинами, передаючи кінетичну енергію мікрохвильовому полю та підсилюючи його. Магнетрон перетворює приблизно 65% вхідної потужності постійного струму в мікрохвильову потужність — значно ефективніше за старіші термоемісійні підсилювачі, що зробило доступними побутові мікрохвильові печі з 1960-х років.

Магнітний момент частинки, що обертається, μ = mv⊥²/(2B) є адіабатичним інваріантом: він зберігається, якщо магнітне поле змінюється повільно порівняно з циклотронним періодом. Цей інваріант керує захопленням частинок у магнітних дзеркалах та в радіаційних поясах планет: коли B зростає, v⊥ має зростати пропорційно (оскільки μ = const, а E = ½m(v‖² + v⊥²) = const дає зв'язок між v‖ і v⊥). Адіабатичні інваріанти також використовуються при проєктуванні магнітних пасток для нейтральних атомів та в аналізі руху заряджених частинок у магнітних полях токамаків.