Спостерігайте за N дисками без тертя, що відбиваються всередині коробки в абсолютно пружних зіткненнях. Гістограма швидкостей збігається до розподілу Максвелла-Больцмана — основи статистичної фізики та кінетичної теорії газів.
J = 2·m₁·m₂·(v_відн · n̂) / (m₁ + m₂)
v₁' = v₁ − J·n̂/m₁
v₂' = v₂ + J·n̂/m₂
Максвелл-Больцман (2D):
f(v) = (m/kT)·v·exp(−mv²/2kT)
Температура: T = m·⟨v²⟩ / (2k)
Джеймс Клерк Максвелл і Людвіг Больцман вивели свій знаменитий розподіл у 1860–1870-х роках без комп'ютерів, використовуючи лише теорію ймовірностей. Розподіл пояснює, чому небо блакитне (розсіювання Релея залежить від розподілу молекулярних швидкостей), і лежить в основі ефективності кожного двигуна внутрішнього згоряння.
Пружне зіткнення — це зіткнення, при якому зберігаються як імпульс, так і кінетична енергія. Енергія не витрачається на тепло, звук чи деформацію. Більярдні кулі та молекули газу добре наближаються до пружних зіткнень.
Величина нормального імпульсу: J = 2·m₁·m₂·(v_відн · n) / (m₁ + m₂), де v_відн — відносна швидкість двох дисків, а n — одиничний вектор нормалі в точці контакту. Швидкість кожного диска потім оновлюється на ±J·n/маса.
Розподіл Максвелла-Больцмана дає розподіл ймовірностей швидкостей частинок в ідеальному газі при термодинамічній рівновазі. Він показує, що більшість частинок мають швидкість, близьку до найбільш ймовірної, а частинок з дуже малою або великою швидкістю значно менше.
Тому що всі зіткнення абсолютно пружні — без тертя чи демпфування. Формула імпульсу за конструкцією точно зберігає і імпульс, і кінетичну енергію. Відбивання від стінок лише змінює знак нормальної компоненти швидкості, зберігаючи її величину.
У кінетичній теорії газів температура T пропорційна середній кінетичній енергії частинки: (1/2)mv² = (f/2)kT, де f — кількість ступенів вільності, k — стала Больцмана. У 2D при f=2 маємо T = m·‹v²›/(2k).
Найбільш імовірна швидкість: v_p = √(2kT/m). Середня швидкість v_avg = √(8kT/πm) ≈ 1,13·v_p, а середньоквадратична швидкість v_rms = √(3kT/m) ≈ 1,22·v_p для тривимірного газу.
Більше частинок означає більше зіткнень за одиницю часу, тому система швидше досягає рівноваги Максвелла-Больцмана. При N частинках і частоті зіткнень, пропорційній N², час рівноваги масштабується приблизно як 1/N.
При пружних зіткненнях між частинками різних мас відбувається обмін енергією до тих пір, поки кожен вид не досягне однакової середньої кінетичної енергії (теорема про рівнорозподіл). Легші частинки в середньому рухаються швидше важчих.
Кожне окреме зіткнення зберігає імпульс завдяки третьому закону Ньютона: імпульс на частинку A рівний і протилежний імпульсу на частинку B. Оскільки всі внутрішні сили попарно компенсуються, повний імпульс системи залишається незмінним.
У 2D розподіл швидкостей: f(v) = (m/kT)·v·exp(−mv²/2kT) — зростає лінійно, потім спадає експоненційно. У 3D: f(v) = 4π(m/2πkT)^(3/2)·v²·exp(−mv²/2kT) — зростає як v² перед спаданням.
Ця симуляція моделює замкнену систему дисків без тертя, які зазнають абсолютно пружних зіткнень у двовимірному просторі. У кожному зіткненні зберігаються і імпульс, і кінетична енергія, що відтворює поведінку ідеалізованих молекул газу в кінетичній теорії. Спостерігаючи, як кольорові частинки відбиваються від стінок і одна від одної, можна побачити, як випадковий початковий стан самостійно організується у розподіл швидкостей Максвелла-Больцмана.
Механіка пружних зіткнень лежить в основі багатьох реальних галузей — від проєктування більярдних столів і ядерних реакторів до симуляцій молекулярної динаміки, які використовують у розробці ліків і матеріалознавстві.
Пружне зіткнення — це зіткнення, у якому зберігаються і лінійний імпульс, і кінетична енергія. Механічна енергія при цьому не перетворюється на тепло, звук чи постійну деформацію. Тверді більярдні кулі та атоми інертних газів у повсякденних умовах доволі близькі до цього ідеалу.
Скористайтеся повзунками на панелі у верхньому правому куті, щоб змінити кількість частинок (5-200), їхній радіус, загальний масштаб швидкості та відношення мас двох типів частинок (позначені рожевим і бірюзовим кольорами). Увімкніть «Сліди», щоб бачити траєкторії руху, «Вектори швидкості», щоб показати стрілки швидкості, та «Гістограма», щоб спостерігати, як розподіл швидкостей наближається до кривої Максвелла-Больцмана. Натисніть «Пауза» або пробіл, щоб зупинити симуляцію, і «Скинути», щоб почати заново.
Гістограма в нижньому лівому куті показує, скільки частинок наразі мають кожну зі швидкостей. Біла крива — це теоретичний двовимірний розподіл Максвелла-Больцмана f(v) = (m/kT) * v * exp(-mv^2/2kT). У міру того, як частинки зіштовхуються й обмінюються енергією, стовпчики поступово наближаються до цієї кривої, демонструючи, як термодинамічна рівновага виникає лише з локальних правил зіткнень.
Величина нормального імпульсу дорівнює J = 2*m1*m2*(v_відн скалярно n) / (m1 + m2), де v_відн = v1 - v2 — відносна швидкість, а n — одиничний вектор нормалі, спрямований від диска 1 до диска 2 у точці контакту. Швидкість кожного диска оновлюється як v1' = v1 - J*n/m1 та v2' = v2 + J*n/m2. Цей вивід випливає безпосередньо з третього закону Ньютона в поєднанні зі збереженням кінетичної енергії вздовж нормалі контакту.
Маятник Ньютона демонструє майже пружні зіткнення між сталевими кулями, передаючи імпульс уздовж ланцюжка з мінімальними втратами енергії. У ядерних реакторах нейтрони пружно зіштовхуються з атомами сповільнювача (зазвичай воднем у воді), сповільнюючись до теплових енергій. На атомному рівні атоми інертних газів, такі як гелій і неон, обмінюються кінетичною енергією через пружні зіткнення з надзвичайно високою ефективністю.
Поширена помилка — вважати, що показ майже нульового повного імпульсу тривіальний. Насправді відбиття від стінок дійсно змінюють імпульс окремих частинок, але оскільки в симуляції кожен імпульс від стінки супроводжується рівною реакцією на охоплюючу коробку (яка тут не відстежується), внутрішній імпульс частинок точно зберігається лише під час зіткнень диск-диск. Панель HUD показує |px| і |py|, щоб можна було переконатися, що зіткнення диск-диск не зміщують систему відліку центра імпульсу з часом.
Джеймс Клерк Максвелл вивів розподіл швидкостей молекул газу в 1860 році, використовуючи аргумент симетрії, показавши, що розподіл кожної компоненти швидкості має бути гаусовим. Людвіг Больцман розширив і суворо обґрунтував цей результат у 1872 році своєю H-теоремою, довівши, що будь-який початковий розподіл із часом еволюціонує до рівноваги Максвелла-Больцмана. Разом їхня робота заклала основи статистичної механіки та кінетичної теорії газів.
Механіка пружних зіткнень безпосередньо узагальнюється до молекулярної динаміки твердих сфер — основи обчислювальної хімії. Пов'язані симуляції включають моделі непружних зіткнень (де коефіцієнт відновлення менший за 1 спричиняє втрату енергії), симуляції гранульованих газів (моделювання піску чи порошків) та моделі газу Лоренца, що використовуються для вивчення детермінованого хаосу. Більярдні динамічні системи — математичний більярд у резервуарах різної форми — є активною сферою досліджень ергодичної теорії.
Ігрові фізичні рушії (Unity, Unreal, Bullet) використовують той самий метод розв'язання пружних зіткнень на основі імпульсу, реалізований тут, для симуляції контактів твердих тіл у реальному часі. Пакети молекулярної динаміки, такі як GROMACS і LAMMPS, застосовують пружні або майже пружні потенціали для симуляції згортання білків, механічної напруги матеріалів і властивостей напівпровідників. Детектори фізики частинок у ЦЕРН використовують перерізи пружного протон-протонного розсіювання, каліброві за передбаченнями кінетичної теорії, для виявлення ознак нової фізики.
Ергодичні властивості систем твердих дисків-більярдів — чи майже всі початкові умови дають однакову довгострокову статистику — були повністю доведені лише Шимані (Simányi) у 2004 році, і для деяких геометрій відкриті питання досі залишаються. Дослідники також вивчають, як мережі пружних зіткнень поводяться на квантовому рівні (квантові більярди), їхній зв'язок із квантовим хаосом, а також те, як незначна непружність спричиняє нестабільності кластеризації (проблема гранульованого охолодження), що стосується формування планетарних кілець і обробки порошків.