Це модель дендритного тверднення на основі фазового поля. Крихітний твердий зародок росте в переохолоджену рідину. Оскільки замерзання вивільняє приховану теплоту, межа стає нестійкою й розгалужується в деревоподібні дендрити. Анізотропний поверхневий натяг змушує ріст іти вздовж виділених осей, створюючи шестикратну симетрію сніжинки.
φ позначає кожну комірку: 0 = рідина, 1 = тверде тіло, з тонкою розмитою межею між ними.T відстежує тепло; замерзання скидає приховану теплоту в рідину, яка має відвестися дифузією.τ ∂φ/∂t = ∇·(W(θ)²∇φ) + φ(1−φ)(φ − ½ + m(T))
∂T/∂t = D∇²T + K ∂φ/∂t де W(θ) = W₀(1 + δ·cos(Nθ))
Тут m(T)=(α/π)·atan(γ(T_eq−T)) — рушійна сила переохолодження, δ — сила анізотропії, а N — кратність симетрії.
Двох однакових природних сніжинок не буває, бо кожен кристал записує власний шлях крізь мінливі температуру й вологість, — проте всі шість променів однієї сніжинки ростуть майже однаково, адже мають спільну історію під час падіння.
Що таке дендрит?
Дендрит — це деревоподібний кристал, що росте під час тверднення розплаву. Від зародка тягнеться головний стовбур, який випускає бічні гілки, схожі на промені сніжинки чи візерунки інею на вікні.
Чому плоский фронт тверднення стає нестійким?
Це нестійкість Маллінса-Секерки. Виступ на межі заходить у холодніший, сильніше переохолоджений рідкий шар і тому росте швидше за плоскі ділянки, посилюючись. Дифузія тепла (чи домішок) живить цей розгін, тоді як поверхневий натяг гасить дрібні нерівності.
Чому сніжинки мають шестикратну симетрію?
Поверхневий натяг льоду залежить від кристалографічного напрямку — він анізотропний з гексагональною симетрією. Ріст найшвидший уздовж шести виділених осей, тож вершини дендритів спрямовані в шість боків, і сніжинка успадковує шестикратну симетрію.
Переохолодження — це наскільки рідину охолоджено нижче точки замерзання до того, як вона твердне. Більше переохолодження накопичує більшу рушійну силу, тож дендрити ростуть швидше, частіше гілкуються і стають тоншими й мереживнішими.
Сила анізотропії визначає, наскільки сильно перевага надається виділеним напрямкам. Близько нуля кристал росте як шорстка, схожа на водорість грудка. Зі зростанням анізотропії з’являються гострі шестипроменеві дендрити з регулярними бічними гілками — класичний вигляд сніжинки.
Замерзання вивільняє приховану теплоту на межі. Ця теплота має відвестися дифузією в рідину, перш ніж замерзне більше речовини, тож вона і обмежує швидкість росту, і формує дифузійне поле, що породжує нестійкість.
Так. Гладкий параметр порядку (фаза) змінюється від 0 у рідині до 1 у твердому тілі крізь тонку розмиту межу і пов’язаний з полем температури. Це дозволяє не відстежувати різку границю та природно відтворює гілкування й розщеплення вершин.
Кожна сніжинка проходить трохи інший шлях крізь мінливі температуру й вологість, поки падає. Крихітні відмінності посилюються нестійкістю, тож точний візерунок гілок практично унікальний, хоча шестикратна симетрія спільна для всіх.
Литі метали тверднуть дендритно. Розмір і відстань між гілками дендритів керують міцністю, пластичністю та тим, де збираються домішки, тож ливарні цехи й розробники сплавів підбирають швидкість охолодження, щоб контролювати мікроструктуру.
Так. Клацніть або торкніться полотна, щоб опустити новий твердий зародок у цій точці. Кілька зародків ростимуть і змагатимуться за навколишню переохолоджену рідину, утворюючи межі зерен там, де їхні дендрити зустрічаються.