Кінематика (постійне прискорення)
| Рівняння |
Змінні |
Що знаходить |
| v = v₀ + a·t |
v₀=початкова швидкість, a=прискорення, t=час |
Швидкість у момент часу t |
| x = x₀ + v₀·t + ½a·t² |
x₀=початкова позиція |
Позиція у момент часу t |
| v² = v₀² + 2a·(x-x₀) |
|
Швидкість без часу |
| x = x₀ + ½(v₀+v)·t |
|
Переміщення (середня швидкість) |
Закони Ньютона та сила
| Назва |
Рівняння |
Нотатки |
| Другий закон Ньютона |
F = m·a |
a = F/m; сума всіх сил |
| Гравітація (всесвітнього тяжіння) |
F = G·m₁·m₂ / r² |
G = 6.674×10⁻¹¹ Н·м²/кг²; притягальна, уздовж r̂ |
| Гравітація на поверхні |
g = G·M / r² |
Земля: g ≈ 9.81 м/с² |
| Імпульс сили та імпульс тіла |
J = Δp = m·Δv = F·Δt |
Миттєва зміна швидкості: Δv = J/m |
| Пружне зіткнення |
v₁' = ((m₁-m₂)v₁ + 2m₂v₂) / (m₁+m₂)
|
Енергія та імпульс зберігаються |
| Тертя |
F_f = μ·N |
μₛ (статичне) > μₖ (кінетичне); N = сила реакції опори |
Динаміка обертання
| Величина |
Рівняння |
Аналог |
| Момент сили |
τ = r × F = I·α |
F = m·a |
| Момент інерції (суцільна куля) |
I = 2/5 · m·r² |
маса |
| Момент інерції (тонкий стрижень, центр) |
I = 1/12 · m·L² |
|
| Момент імпульсу |
L = I·ω = r × p |
p = m·v |
| Кутова швидкість → лінійна |
v = ω × r |
Векторний добуток; дотична швидкість = ω·|r| |
| Доцентрове прискорення |
a_c = ω²·r = v²/r |
Спрямоване всередину, до центра |
| Гіроскопічна прецесія |
Ω = τ / L |
Швидкість прецесії гіроскопа, що обертається, під дією моменту τ
|
Пружина та демпфер
| Компонент |
Рівняння |
Нотатки |
| Закон Гука (пружина) |
F_s = -k·x |
k = жорсткість пружини; x = зміщення від положення спокою |
| В'язке демпфування |
F_d = -b·v |
b = коефіцієнт демпфування; протидіє швидкості |
| ОДР пружини-демпфера |
m·ẍ + b·ẋ + k·x = F(t) |
Стандартне лінійне ОДР другого порядку |
| Власна частота |
ω₀ = √(k/m) |
Частота незатухаючих коливань [рад/с] |
| Критичне демпфування |
b_c = 2·√(k·m) |
ζ = b/b_c; ζ<1: недодемпфоване, ζ=1: критичне, ζ>1:
передемпфоване
|
| Частота затухаючих коливань |
ω_d = ω₀·√(1-ζ²) |
Фактична частота коливань за недодемпфування |
| 2D/3D пружина (векторна) |
F = -k·(|r|-L₀)·r̂ |
L₀ = довжина у спокої; r̂ = одиничний вектор від кріплення до кінця |
Орбітальна механіка
| Властивість |
Рівняння |
Нотатки |
| Швидкість колової орбіти |
v = √(G·M / r) |
Швидкість для стабільної колової орбіти радіуса r |
| Швидкість втечі |
v_esc = √(2·G·M / r) |
√2 × швидкість колової орбіти |
| Орбітальний період (3-й закон Кеплера) |
T² = (4π²/G·M) · a³ |
a = велика піввісь |
| Рівняння віс-віва |
v² = G·M·(2/r - 1/a) |
Швидкість у будь-якій точці еліптичної орбіти |
| Ексцентриситет |
e = √(1 + 2Eh²/(G²M²m³)) |
e=0 коло, 0<e<1 еліпс, e=1 парабола, e>1
гіпербола
|
Рідини та опір
| Закон / сила |
Рівняння |
Нотатки |
| Опір Стокса (низьке Re) |
F_d = 6π·μ·r·v |
Сфера радіуса r у рідині з в'язкістю μ; ламінарна течія |
| Квадратичний опір (високе Re) |
F_d = ½·ρ·C_d·A·v² |
ρ=густина рідини, C_d=коефіцієнт опору, A=площа поперечного перерізу
|
| Число Рейнольдса |
Re = ρ·v·L / μ |
Re<2300 ламінарна, Re>4000 турбулентна |
| Виштовхувальна сила (Архімеда) |
F_b = ρ_fluid · V_submerged · g
|
Вгору; результуюча сила = F_b - m·g |
| Нерозривність (нестислива) |
A₁·v₁ = A₂·v₂ |
Збереження маси в трубі |
| Бернуллі |
p + ½·ρ·v² + ρ·g·h = const |
Збереження енергії вздовж лінії течії; пояснює підіймальну силу |
| Нав'є-Стокс (нестислива) |
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + μ∇²v + f
|
Повна гідродинаміка; f = зовнішні об'ємні сили |
У симуляціях частинок використовуйте опір Стокса для повільних
частинок у в'язких середовищах. Квадратичний опір — для швидких
об'єктів (снаряди, космічні апарати). Квадратичний опір пропорційний
v², тож він стає домінантним на високих швидкостях.