Турбулентність і число Рейнольдса

1. Число Рейнольдса

Число Рейнольдса Re порівнює величину інерційних сил (які сприяють турбулентності) із в'язкими силами (які її пригнічують):

2. Ламінарно-турбулентний перехід

У своєму експерименті з барвником 1883 року Рейнольдс впорскував забарвлену воду у скляну трубу та змінював витрату. Нижче критичного Re барвник плив рівною ниткою; вище нього барвник хаотично перемішувався по всьому перерізу.

Перехід не є чітким порогом — він залежить від збурень на вході, шорсткості труби та інтенсивності турбулентності зовнішнього потоку. Рівняння Орра-Зоммерфельда описує лінійну стійкість: малі збурення наростають, коли власні значення відповідного оператора мають додатні уявні частини.

3. Енергетичний каскад Колмогорова

1941 року Колмогоров запропонував статистичну теорію повністю розвиненої турбулентності. Енергія вноситься на великих масштабах (інтегральний масштаб L), каскадом проходить крізь ієрархію вихорів та розсіюється як тепло на мікромасштабі Колмогорова η:

4. Вихрова доріжка Кармана

Течія, що обтікає погано обтічне тіло (циліндр, опору моста, димар), зриває позаду по черзі вихори з характерною частотою, що визначається числом Струхаля:

5. Примежові шари

Поблизу твердої поверхні умова прилипання змушує швидкість дорівнювати нулю. Товщина примежового шару δ зростає з відстанню x від передньої кромки:

6. DNS, RANS і LES

7. Симуляція зриву вихорів на JavaScript

// 2D вихрова доріжка Кармана методом точкових вихорів
class PointVortex {
  constructor(x, y, gamma) {
    this.x = x; this.y = y;
    this.gamma = gamma; // циркуляція (+ = проти год. стрілки, - = за год. стрілкою)
  }
}

function inducedVelocity(vortices, px, py, core = 0.5) {
  let u = 0, v = 0;
  for (const vt of vortices) {
    const dx = px - vt.x, dy = py - vt.y;
    const r2 = dx*dx + dy*dy + core*core;
    u +=  vt.gamma * dy / (2*Math.PI * r2);
    v -=  vt.gamma * dx / (2*Math.PI * r2);
  }
  return {u, v};
}

function stepVortices(vortices, U_inf, dt) {
  const newPos = vortices.map(v => {
    const others = vortices.filter(w => w !== v);
    const {u, v: vel_v} = inducedVelocity(others, v.x, v.y);
    return {x: v.x + (U_inf + u) * dt, y: v.y + vel_v * dt};
  });
  newPos.forEach((p, i) => { vortices[i].x = p.x; vortices[i].y = p.y; });
}

// Доріжка Кармана: зриваємо вихори по черзі над/під циліндром
const vortices = [];
let time = 0, shedTimer = 0;
const U = 1, D = 20, St = 0.2;
const shedPeriod = D / (St * U); // T = D/(St·U) — період зриву

function shed(sign) {
  const gamma = sign * 2 * Math.PI * U * D * 0.3;
  vortices.push(new PointVortex(0, sign * D * 0.6, gamma));
}

function update(dt = 0.5) {
  shedTimer += dt;
  if (shedTimer >= shedPeriod / 2) {
    shed(vortices.length % 2 === 0 ? 1 : -1);
    shedTimer = 0;
  }
  stepVortices(vortices, U, dt);
  time += dt;
  // Видаляємо вихори, що залишили область
  while (vortices.length > 60) vortices.shift();
}

// Монітор числа Рейнольдса
function striationRe(U, D, nu = 1e-6) {
  return U * D / nu;
}

8. Інженерні застосування

• Проєктування літаків: підйомна сила крила критично залежить від відриву примежового шару; турбулізатори та генератори вихорів затримують зрив потоку, насичуючи примежовий шар енергією.
• Трубопроводи: коефіцієнт турбулентного тертя (діаграма Муді) визначає потрібну потужність насосів. Гладкі труби описуються рівнянням Колбрука-Уайта.
• Теплообмінники: турбулентність посилює конвективну теплопередачу (число Нуссельта Nu ∝ Re^0.8 × Pr^0.4 — кореляція Діттуса-Белтера).
• Вітрова інженерія: вихрозбуджувані коливання визначають проєктування високих будівель, мостів, морських платформ та ліній електропередач.
• Прогноз погоди: атмосферна турбулентність — це основний механізм перемішування імпульсу, водяної пари та тепла від поверхні вгору.