Квантове тунелювання — як частинки проходять крізь стіни

1. Корпускулярно-хвильовий дуалізм

Концептуальна основа тунелювання полягає в тому, що квантові об'єкти — електрони, протони, навіть цілі атоми — не є локалізованими більярдними кулями. Вони описуються хвильовою функцією ψ(x, t) — комплекснозначним полем, квадрат модуля якого |ψ|² дає густину імовірності знайти частинку в позиції x у момент часу t.

Це було встановлено експериментально протягом десятиліть: електрони дифрагують крізь кристалічні решітки (Девіссон-Джермер, 1927), поодинокі електрони формують інтерференційні картини в експериментах з подвійною щілиною навіть коли їх посилають по одному, а нейтрони з пучка відбиваються й проходять крізь тонкі плівки так само, як світло крізь скло.

Хвильова природа має радикальний наслідок. Коли хвиля зустрічає межу, де мала б змінитися її швидкість — потенціальний сходинку — вона частково проходить і частково відбивається, навіть якщо частинка має більш ніж достатньо енергії, щоб перейти. І навпаки, пройдена хвиля трохи проникає в області, куди частинка класично не може потрапити. У бар'єрі скінченної ширини ця «протікла» хвиля може вийти на протилежному боці: тунелювання.

2. Рівняння Шредінгера

Стаціонарне рівняння Шредінгера визначає, як частинка масою m поводиться в потенціалі V(x):

де ℏ = h/(2π) ≈ 1,055 × 10⁻³⁴ Дж·с — зведена стала Планка, а E — повна енергія частинки. Рівняння має різний характер у різних областях:

Область I: вільна частинка (V = 0, E > 0)

Розв'язок — плоска хвиля:

Перший доданок — хвиля, що рухається вправо, другий — вліво. |k| — хвильове число (радіани на метр).

Область II: усередині бар'єру (V = V₀ > E)

Коли E < V₀, підкореневий вираз стає від'ємним. Визначивши:

розв'язки — дійсні експоненти, а не осцилюючі хвилі:

Спадний доданок C·e^(−κx) — це загасаюча (еванесцентна) хвиля — вона експоненційно спадає всередині бар'єру. Зростаючий доданок D·e^(+κx) розбігався б для нескінченно товстого бар'єру, тож D = 0 у цій межі, але для бар'єру скінченної ширини L обидва доданки мають значення, і хвильова функція з'являється на протилежному боці зі зменшеною, але ненульовою амплітудою.

3. Коефіцієнт проходження T = e^(−2κL)

Зшивання хвильової функції та її похідної неперервно на обох стінках бар'єру (x = 0 та x = L) дає точний коефіцієнт проходження — частку вхідного потоку ймовірності, що проходить крізь. Для прямокутного бар'єру в межі κL ≫ 1 (товстий або високий бар'єр) він спрощується до:

Це найважливіша формула у фізиці тунелювання. Три фактори контролюють T:

• Ширина бар'єру L — T спадає експоненційно зі зростанням L. Подвойте ширину бар'єру, і T підноситься до квадрата, різко зменшуючись.
• Енергетичний дефіцит (V₀ − E) — глибше під бар'єром означає більше κ і менше T. Частинки біля вершини бар'єру тунелюють значно легше.
• Маса частинки m — важчі частинки мають більше κ для того самого енергетичного дефіциту. Тунелювання протона експоненційно рідше за тунелювання електрона за тієї самої енергії.

Повний точний результат (без наближення товстого бар'єру) також включає предекспоненційні множники, що враховують відбиття на стінках бар'єру:

Для κL ≫ 1, sinh(κL) ≈ e^(κL)/2, і точний результат зводиться до простої експоненти.

4. Принцип невизначеності Гейзенберга та тунелювання

Принцип невизначеності Вернера Гейзенберга часто наводять, щоб «пояснити» тунелювання, хоча повне рівняння Шредінгера не потребує додаткового пояснення. Проте принцип невизначеності дає потужну інтуїцію. У найточнішій формі:

де Δx — стандартне відхилення позиції, а Δp — стандартне відхилення імпульсу. Оскільки позиція й імпульс є спряженими змінними, локалізація частинки в просторі (мале Δx) неминуче тягне за собою розкид імпульсу (велике Δp), і навпаки.

Усередині тонкого бар'єру позиція частинки обмежена вузькою областю 0 ≤ x ≤ L, тож Δx ≈ L. Отримана невизначеність імпульсу становить Δp ≥ ℏ/(2L), а це означає, що невизначеність кінетичної енергії частинки ΔE ≈ (Δp)²/(2m) ≥ ℏ²/(8mL²). Для дуже тонкого, дуже високого бар'єру ця флуктуація достатньо велика, щоб частинка «фактично» мала достатньо енергії для переходу.

Актуальне також співвідношення невизначеності енергія-час:

Частинка може «позичити» енергію ΔE на час Δt ≤ ℏ/(2ΔE) — недостатньо, щоб перетнути макроскопічний бар'єр, але достатньо, щоб подолати потенціальний пагорб нанометрового масштабу. Це евристична картина; строгий розгляд повсюдно використовує рівняння Шредінгера.

5. Наближення ВКБ

Прямокутний бар'єр — найпростіший випадок. Реальні бар'єри — кулонівський бар'єр навколо ядра, потенціальна яма, що утримує електрон у молекулі — мають довільну форму V(x). Наближення Вентцеля-Крамерса-Бріллюена (ВКБ) узагальнює коефіцієнт проходження на плавно змінювані потенціали.

Імовірність тунелювання ВКБ крізь довільний бар'єр між класичними точками повороту x₁ і x₂ (де E = V(x)) дорівнює:

де локальна стала спадання тепер залежить від позиції:

Інтеграл у показнику степеня називають інтегралом дії ВКБ або дією тунелювання. Для прямокутного бар'єру він зводиться до κL, відтворюючи наш попередній результат. Наближення ВКБ справедливе, коли потенціал змінюється повільно порівняно з локальною довжиною хвилі де Бройля — чудове наближення для більшості реальних бар'єрів далеко від класичних точок повороту.

6. Реальні застосування

Тунельний діод

Винайдений Лео Есакі 1957 року (Нобелівська премія 1973), тунельний діод використовує тунелювання електронів крізь тонкий шар збіднення p-n переходу. За малої прямої напруги електрони тунелюють із зони провідності n-сторони в порожні стани валентної зони p-сторони, породжуючи струм до початку звичайної провідності діода. Зі збільшенням напруги енергетичне узгодження погіршується й струм падає — створюючи область від'ємного диференціального опору, унікальну серед електронних компонентів. Тунельні діоди перемикаються за пікосекунди й застосовуються в мікрохвильових генераторах та швидкодіючій логіці.

Скануючий тунельний мікроскоп (СТМ)

Генріх Рорер і Герд Бінніг винайшли СТМ в IBM Цюрих 1981 року (Нобелівська премія 1986). Металевий зонд підводять на відстань ~0,5 нм до провідної поверхні. Тунельний струм I ∝ e^(−2κd) настільки чутливо залежить від відстані зонд-поверхня d, що зміна на 0,01 нм (одна сота діаметра атома) змінює I приблизно на 10%. Скануючи зондом і підтримуючи сталий струм через контур зворотного зв'язку, СТМ відтворює атомарну топографію з роздільною здатністю в частки ангстрема — достатньою, щоб зображати й навіть маніпулювати окремими атомами.

Флеш-пам'ять

Транзистори з плаваючим затвором у флеш-пам'яті NAND (SSD, USB-накопичувачі, смартфони) зберігають біти, захоплюючи електрони на електрично ізольованому острівці полікремнію. Запис і стирання здійснюються тунелюванням Фаулера-Нордгейма — електрони тунелюють крізь тонкий (~10 нм) шар діоксиду кремнію під сильним прикладеним електричним полем. Без тунелювання твердотільне сховище даних, яке ми знаємо, не існувало б.

7. Альфа-розпад і фактор Гамова

Усередині важкого ядра альфа-частинка (два протони + два нейтрони, тобто ядро гелію-4) утримується сильною ядерною взаємодією в потенціальній ямі. Поза ядром домінує відштовхувальний кулонівський потенціал між альфа-частинкою й дочірнім ядром:

На поверхні ядра (r ≈ 1-10 фм) сильна взаємодія притягальна й глибока; зовні кулонівський бар'єр зростає до максимуму, а потім спадає як 1/r. Альфа-частинка з енергією E нижче максимуму бар'єру класично назавжди захоплена. Проте експериментально ядра розпадаються з періодами напіврозпаду від мікросекунд до мільярдів років.

Джордж Гамов (1928) застосував наближення ВКБ, щоб обчислити ймовірність тунелювання крізь кулонівський бар'єр. Результат виражається як фактор Гамова:

Або еквівалентно, G = exp(−2γ), де γ = √(E_G/E), а E_G = 2m_α(παZ₁Z₂e²/ℏ)² — енергія Гамова (порядку МеВ для типових альфа-випромінювачів). Швидкість розпаду λ = ν · P є добутком частоти зіткнень ν (альфа-частинка вдаряється об бар'єр ~10²¹/с) та ймовірності тунелювання P ∝ G.

Ця єдина формула пояснює величезний діапазон періодів напіврозпаду: Полоній-212 (E_α = 8,95 МеВ) розпадається за 0,3 мкс; Уран-238 (E_α = 4,27 МеВ) триває 4,5 мільярда років. Приблизно 4-МеВ різниця в енергії альфа-частинки перетворюється на коефіцієнт 10²⁴ у періоді напіврозпаду — чиста експоненційна чутливість до фактора Гамова.

8. Ядерний синтез у зорях

Сонце перетворює водень на гелій у своєму ядрі, вивільняючи енергію, що підтримує життя на Землі. Але є загадка: температура ядра становить близько 1,5 × 10⁷ К, що відповідає тепловій енергії kT ≈ 1,3 кеВ. Кулонівський бар'єр між двома протонами має висоту близько 550 кеВ при контакті — більш ніж у 400 разів вищу за типову теплову енергію. Класична фізика передбачає, що синтез мав би бути практично неможливим.

Квантове тунелювання рятує ситуацію. Фактор Гамова дозволяє протонам тунелювати крізь хвіст кулонівського бар'єру навіть за підбар'єрних енергій. Швидкість синтезу залежить від піка Гамова — згортки розподілу Больцмана (що сприяє низьким енергіям) і ймовірності тунелювання (що сприяє високим енергіям):

де S(E) — астрофізичний S-фактор (повільно змінний переріз, звільнений від фактора Гамова), f(E) — розподіл Максвелла-Больцмана, а E₀ — енергія піка Гамова — енергія, за якої відбувається більшість реакцій. Для p-p синтезу на Сонці E₀ ≈ 6 кеВ, значно нижче за висоту бар'єру.

Без квантового тунелювання Сонце не світило б, зорі не існували б, а важкі елементи, викувані в надрах зір — вуглець, кисень, залізо — ніколи не з'явилися б. Тунелювання — не екзотична лабораторна цікавинка; це те, що робить Всесвіт хімічно багатим, а життя — можливим.