Механіка контакту Герца — чому ніщо не торкається ідеально

1. Проблема контакту

Класична механіка твердого тіла розглядає кульки, що стикаються, як безрозмірні точки, які миттєво обмінюються імпульсом. Реальні матеріали пружні: коли два викривлені тіла притискаються одне до одного, утворюється скінченна ділянка контакту, яка зростає зі збільшенням навантаження. Герц припустив, що обидва тіла — пружні напівпростори, площа контакту мала порівняно з радіусами кривизни, а тертя всередині ділянки нехтовно мале — припущення, які напрочуд добре виконуються для твердих, гладких, сухих контактів, як-от сталеві кульки, підшипники кочення та більшість спортивного інвентарю.

2. Радіус контакту та зближення

Для двох сфер радіусами R₁ і R₂, притиснутих одна до одної силою F, теорія Герца дає радіус a круглої ділянки контакту та взаємне зближення δ (наскільки центри зближуються порівняно із сумою радіусів):

E* — це «ефективний» або зведений модуль: домінує м'якіший матеріал. Для сталевої кульки на жорсткій гумовій подушці E* практично дорівнює модулю гуми, навіть попри те, що сталь у тисячі разів жорсткіша.

3. Розподіл тиску

Всупереч інтуїції, тиск на ділянці контакту не рівномірний — він максимальний у центрі й спадає до нуля на краю, слідуючи еліпсоїдальному (напівсферичному) профілю:

4. Нелінійна жорсткість контакту

Оскільки δ ∝ F^(2/3), залежність сили від деформації нелінійна: F = k_H · δ^(3/2), де константа герцівської жорсткості:

Ця зміцнювальна поведінка пояснює, чому м'який гумовий м'яч відчувається дедалі твердішим, коли його сильніше стискати, і чому реальні удари не є симетричними синусоїдальними імпульсами.

5. Тривалість удару та відновлення

Розглядаючи герцівський контакт як нелінійну пружину, можна вивести тривалість удару та пікову силу для сфери, що вдаряється об масивну мішень зі швидкістю v:

6. Інженерні застосування

7. JavaScript-симулятор герцівського удару

// Нелінійна пружинна модель герцівського удару (нормальний удар, без демпфування)
function effectiveModulus(E1, nu1, E2, nu2) {
  const inv = (1 - nu1**2)/E1 + (1 - nu2**2)/E2;
  return 1 / inv;
}

function hertzImpact({ m1, m2, R1, R2, E1, nu1, E2, nu2, v0, dt = 1e-7 }) {
  const mStar = 1 / (1/m1 + 1/m2);
  const RStar = 1 / (1/R1 + 1/R2);
  const EStar = effectiveModulus(E1, nu1, E2, nu2);
  const k = (4/3) * EStar * Math.sqrt(RStar); // F = k * delta^1.5

  let delta = 0, vRel = v0;
  const trace = [];
  while (vRel > 0 || delta > 0) {
    const F = delta > 0 ? k * delta ** 1.5 : 0;
    const a = F / mStar; // відносне сповільнення
    vRel -= a * dt;
    delta += vRel * dt;
    trace.push({ delta, F, vRel });
    if (trace.length > 2e6) break; // запобіжник
  }
  const Fmax = Math.max(...trace.map(t => t.F));
  return { steps: trace.length, durationS: trace.length * dt, Fmax };
}

// сталева кулька Ø10 мм падає зі швидкістю 1 м/с на масивну сталеву плиту
const result = hertzImpact({
  m1: 0.0325, m2: 1e6,       // плита трактується як практично нескінченна маса
  R1: 0.005, R2: 1e6,        // плоска плита: R2 -> нескінченність
  E1: 210e9, nu1: 0.3,
  E2: 210e9, nu2: 0.3,
  v0: 1.0
});
console.log(`Тривалість контакту ${(result.durationS*1e6).toFixed(1)} мкс, Fmax ${result.Fmax.toFixed(0)} Н`);

8. Межі теорії

Припущення Герца порушуються за кількох поширених умов, кожна з яких потребує розширеної моделі:

• Пластичність: коли p₀ перевищує приблизно 1.1× границю текучості матеріалу, виникає незворотна (пластична) деформація — область пружно-пластичних моделей контакту.
• Адгезія: для м'яких, липких або дуже малих контактів важлива поверхнева енергія, і теорію Герца замінюють моделі JKR (Джонсон-Кендалл-Робертс) або DMT.
• Тертя й тангенційне навантаження: теорія Герца суто нормальна; комбінований нормально-тангенційний контакт потребує розширення Каттанео-Міндліна для часткового прослизання.
• Великі ділянки контакту: коли a вже не мале порівняно з R, припущення напівпростору не виконується, і замість цього потрібен скінченно-елементний аналіз контакту.