Залийте у сітку рівномірний випадковий шум цілочислових станів 0…K−1 і застосуйте єдине правило: клітина переходить у свій наступний стан, якщо будь-який сусід уже має цей наступний стан. За кілька сотень кроків порядок виникає спонтанно — обертові спіральні хвилі розфарбовують сітку концентричними кільцями кольору, нескінченно самопідтримуючись. Це циклічний клітинний автомат (CCA) — найпростіша модель збудливого середовища й майстер-клас із емерджентності.
1. Модель Грінберга–Гастінгса
Модель Грінберга–Гастінгса (1978) була першим строгим дослідженням збудливого клітинного автомата. Кожна клітина має стан s ∈ {0, 1, …, K−1}. Стан 0 — це стан спокою, стани 1…K−1 — послідовні збуджені/рефрактерні стадії, і клітини періодично циклують.
За околу фон Неймана та K ≥ 3 Фіш, Гравнер і Гріффіт (1991) довели, що CCA, які стартують із випадкових початкових умов, утворюють стійкі спіральні хвилі з імовірністю 1 — спіралі є єдиними атракторами цієї динаміки.
2. Фазові переходи та простір параметрів (K, θ, N)
Якісну поведінку CCA визначають три параметри:
| Параметр | Символ | Вплив |
|---|---|---|
| Кількість станів | K | Більше станів → довший рефрактерний період → більші спіралі, повільніше обертання |
| Поріг | θ | Вище θ → важче збудити → менше, але більші спіралі; θ = 1 є найзбудливішим |
| Окіл | N (фН або Мура) | Окіл Мура → швидше поширення; складніші вершини |
3. Механіка спіральних хвиль
Спіраль CCA — це обертова хвиля навколо центрального організаційного дефекту — вершини. Вершина окреслює замкнену криву (часто коло) або ергодично блукає. Формування спіралі відбувається за точною послідовністю:
Крок 1 — Зародження
У випадковій початковій умові локальні ділянки час від часу утворюють асиметричну послідовність: невелику область, де стани монотонно зростають в одному напрямку. Ця «зародкова хвиля» розширюється як цільове кільце.
Крок 2 — Розрив і формування вершини
Коли плаский фронт хвилі зустрічає область в іншій фазі, фронт розривається, а вільні кінці загинаються всередину. Загнуті вершини — це топологічні дефекти — місця, де всі K станів сходяться в одній точці, — і вони стають ядрами спіралей.
Крок 3 — Анігіляція
Спіралі протилежної хіральності (за годинниковою стрілкою проти проти неї) анігілюють при зіткненні. Довговічними є ті спіралі, що відкривають достатньо території, аби уникнути вхідних хвиль від конкурентів.
4. Звʼязок зі збудливими середовищами в біології
Та сама динаміка спіральних хвиль зʼявляється на радикально різних фізичних субстратах:
| Система | Стан спокою | Збудження | Рефрактерність |
|---|---|---|---|
| Реакція Бєлоусова–Жаботинського | Окиснений фероїн | Відновлений фероїн (синій→червоний) | Повернення до окисненого (секунди) |
| Серцевий мʼяз | Спокій (−80 мВ) | Потенціал дії | Абсолютна рефрактерність (200 мс) |
| Поширювана депресія сітківки | Нормальна нейронна активність | Хвиля деполяризації | Пригнічена активність (хвилини) |
| Слизовик (Dictyostelium) | Окремі клітини | Поширення імпульсу цАМФ | Десенсибілізація до цАМФ |
| Лісова пожежа на місцевості | Незгоріле паливо | Фронт горіння | Згоріле (без палива) |
5. Глайдери та складені структури
За ретельно дібраних параметрів CCA можуть породжувати глайдери — просторово компактні візерунки, що рухаються крізь сітку, — аналогічні глайдерам у грі «Життя» Конвея. У варіанті «Cyclic 255» (K=255, θ=2, Мура) Гравнер і Гріффіт (1996) задокументували надзвичайний зоопарк стійких структур:
| Структура | Опис |
|---|---|
| Турбулентний режим | Щільні, нерегулярні вершини спіралей, хаотичні розриви та злиття |
| Крапля | Майже кругова обертова хвиля, самодостатня, зіштовхується пружно |
| Макаронина | Довга тонка обертова хвиля, що загортається навколо себе |
| Завиток | Спіральне рамено, що самозагортається в туго скручений глайдер |
| Інь-ян | Дві зчеплені спіралі, що обертаються в протилежні боки, утворюючи стійку пару |
6. Топологічний аналіз: число обертання
Поле станів s(x, y) ∈ {0, …, K−1} на сітці можна тлумачити як дискретизоване скалярне фазове поле на колі. Навколо кожної вершини спіралі фаза обертається рівно на ±2π — це топологічний заряд (число обертання) ±1:
Цей топологічний захист пояснює, чому спіралі такі довговічні: не можна знищити одну спіраль без партнера протилежної хіральності. Це та сама математика, що й для вихорів у надплинних рідинах і дислокацій у кристалах.
7. Класи складності: коли CCA згасають
Не всі вибори параметрів ведуть до спіралей. Гравнер і Гріффіт (1993) встановили три фази (для великих K):
8. Інтерактив: дослідник спіралей циклічного CA
Оберіть K (стани), поріг θ і тип околу, потім натисніть Рандомізувати. Спостерігайте, як спіральні хвилі виникають із шуму. Збільшуйте K для повільніших, більших спіралей. Спробуйте θ=2 для більших областей ядра.
Кожен колір представляє стан у циклі 0…K−1. Клітина переходить, коли сусід має її наступний стан. Спіралі виникають спонтанно з випадкового шуму протягом ~200 поколінь.