Розтяг
Стиск
Близько до нуля
Навантаження
Ферма Воррена — аналіз методом вузлів
Діаграма сил у стержнях (розтяг +, стиск −)
Ферменний міст розподіляє навантаження через мережу трикутних рам, перетворюючи згинальні зусилля на суто осьові розтяг і стиск в кожному стержні. Метод вузлів — розв'язання рівнянь рівноваги ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0 у кожному вузлі — є класичним способом знаходження цих зусиль. Знаючи, чи стержень розтягнутий (схильний до розриву) чи стиснутий (схильний до вигину), можна правильно підібрати матеріал: сталь добре витримує обидва типи, бетон добре працює на стиск і погано на розтяг, деревина — навпаки. Реальні катастрофи, наприклад обвалення мосту Квебек 1907 року, були спричинені недооцінкою стискальних зусиль, що призвело до втрати стійкості за Ейлером.
Оберіть конфігурацію між фермами Уоррена, Пратта, Хау та K-фермою, задайте величину і точку прикладання зосередженого навантаження та площу поперечного перерізу стержнів. Полотно забарвлює кожен стержень — червоний означає розтяг, синій — стиск — з товщиною, пропорційною зусиллю. Стовпчаста діаграма показує всі зусилля одночасно, а коефіцієнт запасу (межа текучості / максимальне напруження) попереджає про небезпеку.
Що таке метод вузлів?
Метод вузлів — техніка знаходження осьового зусилля в кожному стержні статично визначеної ферми. У кожному вузлі (шарнірі) застосовуються два рівняння рівноваги: ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Починаючи з вузла, де лише два невідомих зусилля (зазвичай вузол опори), розв'язуємо дві рівняння в двох невідомих, потім переходимо до сусідніх вузлів. Процес повторюється, доки не знайдено всі зусилля.
Яка різниця між розтягом і стиском у фермі?
Стержень під розтягом тягнеться з обох кінців — він чинить опір видовженню. Стержень під стиском стискається — він чинить опір укороченню. У конструкційному аналізі розтяг позначається додатним значенням, стиск — від'ємним. Стиснені стержні схильні до втрати стійкості (раптового бічного прогину), що кількісно описується формулою Ейлера: F_cr = π²EI/(KL)², де E — модуль Юнга, I — момент інерції перерізу, L — довжина стержня.
Чим ферма Уоррена відрізняється від ферми Пратта?
У фермі Уоррена діагоналі чергуються напрямком (утворюючи рівносторонні трикутники без вертикалей), рівномірніше розподіляючи навантаження при меншій кількості стержнів. У фермі Пратта вертикалі стиснені, а діагоналі — розтягнуті при типових вертикальних навантаженнях — це добре підходить для сталі і було головним типом залізничного моста XIX ст. Ферма Хау протилежна: вертикалі розтягнуті, діагоналі стиснені — краще для дерев'яних вертикалей.
Плоска ферма є статично визначеною, якщо кількість стержнів m і вузлів j задовольняють умові m = 2j − 3 (за 3 реакцій опор). Це означає, що всі зусилля знаходяться з умов рівноваги без знання жорсткості. Якщо m > 2j − 3 — ферма статично невизначена (зайві зв'язки); якщо m < 2j − 3 — це механізм, що руйнується.
Коефіцієнт запасу (КЗ) — відношення межі текучості матеріалу до максимального фактичного напруження: КЗ = σ_yield / σ_max. Сталеві мости зазвичай потребують КЗ ≥ 1,5–2,0 за нормальних експлуатаційних навантажень. Єврокод 3 (проєктування сталевих конструкцій) задає часткові коефіцієнти безпеки для навантажень і матеріалів окремо, що дає ефективний загальний КЗ приблизно 1,5. КЗ нижче 1,0 означає гарантоване руйнування.
Втрата стійкості за Ейлером — раптовий бічний прогин тонкого стиснутого стержня при досягненні критичного навантаження F_cr = π²EI/(KL)², де K — коефіцієнт приведеної довжини (1,0 для шарнірних торців, 0,5 для обох защемлених). Тонкі стержні з малим I або великою ефективною довжиною втрачають стійкість при навантаженнях набагато менших за межу текучості. Саме тому стиснені верхні пояси мостів часто виконуються у вигляді коробчастих або двотаврових перерізів — для збільшення I без суттєвого збільшення ваги.
Трикутник — єдиний многокутник, який є жорстким від природи: він не може деформуватися в іншу форму без зміни довжини хоча б одного стержня. Чотирикутна рама без діагоналей — це механізм, який легко складається. Завдяки триангуляції структури кожне зовнішнє навантаження розкладається на розтяг або стиск вздовж прямих стержнів, уникаючи згинальних моментів, характерних для балок і значно більш матеріаломістких.
Сучасні ферми мостів майже виключно виготовляються зі сталі (S355 за Єврокодом, межа текучості 355 МПа), часто з гарячим цинкуванням або фарбуванням для захисту від корозії. Високоміцні сталеві канати (σ_y ≈ 1600 МПа) використовуються у підвісних і вантових мостах. Старіші мости зводилися з ковкого заліза, чавуну або деревини; окремі пішохідні мости використовують алюмінієві сплави чи вуглецеве волокно для мінімізації власної ваги.
Напруження σ = F / A, де F — осьове зусилля в стержні (в Ньютонах, додатне для розтягу), A — площа поперечного перерізу в м². Симулятор застосовує цю формулу для кожного стержня, використовуючи зусилля з методу вузлів і задану площу перерізу. Для сталевого стержня A = 0,01 м² і F = 250 кН напруження = 250 000 / 0,01 = 25 МПа — значно нижче межі текучості 355 МПа для сталі S355.
K-ферма (або бельгійська ферма) використовує діагоналі, що сходяться в середині вертикалей, утворюючи K-подібні панелі. Вона ефективна для великопрогонових мостів, оскільки менші за довжиною K-подібні діагоналі мають меншу розрахункову довжину втрати стійкості. Міст Форт в Шотландії (побудований 1890) використовує консольну ферму, а багато американських залізничних мостів початку XX ст. були побудовані як ферми Пратта та Уоррена з K-вузлами. Сьогодні K-ферми зводяться для залізничних і автодорожніх естакад із прольотами понад 60–80 м.