Брахістохрона (грец.: brakhistos — «найкоротший» + khronos — «час») — це крива, уздовж якої кулька, ковзаючи під дією гравітації без тертя, долає шлях між двома точками за найменший час. Дивовижно, але це не пряма лінія — це дуга циклоїди.

Виклик 1696 року

Йоганн Бернуллі сформулював задачу в 1696 році як виклик «найгострішим математикам світу». Розв'язки надіслали Ньютон, Лейбніц, Лопіталь, Якоб Бернуллі та сам Йоганн — так народилося варіаційне числення.

Аналогія з принципом Ферма

Витончений трюк Йоганна переосмислив падаючу кульку як промінь світла. За законом збереження енергії швидкість дорівнює v = √(2g·h), тож кулька рухається швидше внизу — наче світло крізь дедалі швидші середовища. Принцип найменшого часу Ферма тоді приводить до закону Снелла, sinθ / v = const, у кожній точці. Цьому підкоряється саме циклоїда.

Розв'язок-циклоїда

Циклоїду креслить точка на колі радіуса r, що котиться:

x = r(θ − sinθ)
y = r(1 − cosθ)

Запущена «догори дном» від початкової точки, циклоїда проходить крізь обидві точки й перемагає будь-який інший шлях — пряму, дугу та параболу.

Властивість таутохрони

Гюйгенс (1659) виявив, що та сама циклоїда є таутохроною: кулька, відпущена з будь-якої точки дуги, досягає дна за однаковий час, незалежно від місця старту. Перемкніться в режим Таутохрона, щоб побачити, як кульки, відпущені з різних висот, прибувають одночасно.

• Пряма — найкоротший шлях, але найповільніший.
• Дуга — кругова западина, швидша за пряму.
• Парабола — близько, але все ще не оптимально.
• Циклоїда — брахістохрона, завжди перемагає.