Охолоджуйте бозони до абсолютного нуля: нижче критичної температури Tc макроскопічна частина частинок переходить у найнижчий квантовий стан, утворюючи єдину когерентну матеріальну хвилю, описувану параметром порядку ψ(r,t).
Рівняння ГП:
iℏ dψ/dt = [-ℏ²/(2m) ∇² + V(r) + g|ψ|²] ψ
Пастка: V(r) = ½ m ω² r²
Томас-Фермі: μ = g |ψ|² + V(r)
Частка конденсату: N₀/N = 1 − (T/T⁽)³
Розщеплений крок:
ψ* = exp(−i dt/2 [V+g|ψ|²]/ℏ) ψ (r-простір)
ψ* = exp(−i dt ℏk²/2m) ψ* (k-простір, ШПФ)
ψ = exp(−i dt/2 [V+g|ψ*|²]/ℏ) ψ* (r-простір)Перший КБЕ було створено у JILA у 1995 році з атомів рубідію-87, охолоджених до 170 нанокельвінів — 170 мільярдних часток градуса вище абсолютного нуля. Корнелл, Вімен і Кеттерле отримали Нобелівську премію з фізики 2001 року за це відкриття.
Конденсат Бозе-Ейнштейна (КБЕ) — це стан речовини, який утворюється при охолодженні бозонів до температур поблизу абсолютного нуля. Нижче критичної температури Tc макроскопічна частина частинок займає найнижчий квантовий енергетичний стан, і всі їхні хвильові функції зливаються в єдину когерентну макроскопічну матеріальну хвилю, описувану одним параметром порядку ψ.
Рівняння Гроса-Пітаєвського (ГП) — це нелінійне рівняння Шрöдінгера, що керує динамікою КБЕ: iℏ dψ/dt = [−ℏ²/(2m) ∇² + V(r) + g|ψ|²] ψ. Нелінійний член g|ψ|² відображає середньопольові взаємодії між частинками, де g = 4πℏ²as/m пропорційне s-хвильовій довжині розсіяння as.
Метод розщепленого кроку Фур'є поділяє кожен часовий крок на кінетичний напівкрок (у просторі імпульсів через ШПФ, де лапласіан діагональний як −k²) і напівкрок потенціалу+взаємодії (у координатному просторі). Таке розщеплення операторів дає точність другого порядку та ефективно обробляє повну нелінійність ГП.
Квантові вихори — це топологічні дефекти, де фаза конденсату закручується на кратне 2π навколо точки нульової густини. На відміну від класичних вихорів, циркуляція квантована в одиницях h/m. При обертанні вихори впорядковуються у трикутні решітки Абрикосова — визначальну ознаку надплинності.
Заміна реального часу t на −iτ перетворює оператор еволюції в exp(−Hτ/ℏ), що експоненційно пригнічує всі збуджені стани відносно основного. Ітерація та нормування хвильової функції тому збігається до основного стану рівняння ГП без розв'язання задачі на власні значення.
Надплинність — це течія без в'язкості. Поле швидкості конденсату v = (ℏ/m) ∇θ є безвихровим скрізь, крім ядер вихорів, а рідина чинить опір збуренням нижче критичної швидкості Ландау. У розріджених атомних газах КБЕ та надплинність практично збігаються, тоді як у рідкому гелії-4 надплинна частка перевищує частку конденсату через сильні кореляції.
Для ідеального газу Бозе у 3D: Tc = (ℏ²/2πmkB) (n/ζ(3/2))2/3, де ζ(3/2) ≈ 2.612. Реальні атомні КБЕ утворюються нижче ~1 мкК; перший Rb-87 КБЕ з'явився при ~170 нК. У гармонічній пастці частка конденсату масштабується як N0/N ≈ 1 − (T/Tc)3.
При відштовхувальних взаємодіях (g > 0) профіль густини розширюється і в межі Томаса-Фермі набуває форми оберненого параболоїда: n(r) = (μ − V(r))/g. При притягальних взаємодіях (g < 0) хмара стискається і може колапсувати вище критичної кількості атомів. Сильне відштовхування знижує швидкість звуку та підвищує жорсткість конденсату відносно збурень.
Сатьєндра Нат Бозе (1924) і Альберт Ейнштейн (1925) теоретично передбачили явище конденсації. Перший експериментальний КБЕ у розрідженій атомній парі було отримано у червні 1995 року Еріком Корнеллом та Карлом Вімен (Rb-87, JILA) і незалежно Вольфгангом Кеттерле (Na, MIT). Усі троє отримали Нобелівську премію з фізики 2001 року.
Симуляція використовує 2D ізотропний гармонічний потенціал V(r) = ½ m ω² r², що імітує магнітні або оптичні дипольні пастки, які застосовуються в реальних експериментах з КБЕ. Частота пастки ω визначає природну довжину aho = √(ℏ/mω) і масштаб енергії ℏω. Збільшення ω стискає конденсат; зменшення — розширює хмару та зменшує пікову густину.