I. Гідродинаміка: від вихрових кілець до розрідженого газу
💨Вихрове кільце — динаміка, стрибання один через одного та реконекція
Пустіть тороїдальний вихор крізь нерухому рідину. Керуйте радіусом кільця, товщиною ядра та циркуляцією. Запустіть друге кільце й спостерігайте, як вони стрибають одне через одне; зведіть разом два зустрічно обертові кільця й подивіться на реконекцію.
Вихрове кільце — одна з найстійкіших структур у гідродинаміці. На відміну від краплі барвника, що розчиняється за секунди, вихрове кільце може пролетіти метри крізь нерухоме повітря, зберігаючи свою цілісність упродовж десятків радіусів кільця шляху. Воно самопоширюється: кільце створює поле швидкостей, яке зносить власне ядро вперед зі швидкістю
V_ring = (Gamma / 4*pi*R) * (ln(8R/a) - 1/4)
Gamma : циркуляція (м^2/с) — інтеграл завихреності по перерізу
R : радіус кільця (м)
a : радіус ядра (м, a << R для кільця з тонким ядром)
Закон Біо–Савара для кругової нитки дає цей результат головного порядку.
Логарифмічний член відображає дальню індукцію від власного далекого поля кільця. Тонкі кільця (a/R → 0) рухаються найшвидше, тому що самоіндукція розходиться в міру звуження ядра, проте в'язкість завжди з часом потовщує ядро, поступово сповільнюючи кільце. Саме тому бульбашкове кільце дельфіна зрештою зупиняється і спливає, а не летить вперед нескінченно.
Стрибання одне через одне (leapfrogging)
Запустіть два співвісних кільця однакового знаку одне за одним — і почнеться дивовижний танець: заднє кільце прискорюється (воно рухається крізь конвергентний індукований потік лідера), проходить крізь переднє кільце, стає новим лідером, і цикл повторюється. Це стрибання одне через одне є періодичним і стабільним, коли кільця ідентичні, але переходить у хаос, коли вони трохи відрізняються за циркуляцією чи радіусом — прекрасний шлях до турбулентності, який можна спостерігати в баку з водою з ін'єкцією барвника.
🌀Вихор Тейлора–Гріна — виникнення турбулентності та каскад енергії
Симулюйте канонічну початкову умову Тейлора–Гріна в періодичній коробці. Спостерігайте, як спочатку гладке синусоїдальне поле швидкостей розпадається на дрібномасштабну турбулентність. Побудуйте графіки кінетичної енергії, ензострофії та спектра енергії Колмогорова.
Вихор Тейлора–Гріна — улюблений тестовий приклад теоретиків для вивчення турбулентності. Початкове поле швидкостей — простий тригонометричний патерн, гладкий, періодичний, аналітично відомий — проте вже за кілька часів обертання воно набуває всіх ознак повністю розвиненої турбулентності: широкого інерційного діапазону в енергетичному спектрі, інтенсивних вихрових трубок і переривчастих подій дисипації. Причина в тому, що рівняння Нав'є–Стокса нелінійні: будь-яка гладка початкова умова при високому числі Рейнольдса каскадно передаватиме енергію від великих масштабів до малих, доки в'язка дисипація нарешті її не поглине.
Початкова умова (3D, періодична коробка [0, 2*pi]^3):
u = V_0 * sin(x) * cos(y) * cos(z)
v = -V_0 * cos(x) * sin(y) * cos(z)
w = 0
Спектр енергії Колмогорова (інерційний діапазон):
E(k) ~ C * epsilon^(2/3) * k^(-5/3)
epsilon : середня швидкість дисипації енергії (м^2/с^3)
k : хвильове число (рад/м)
C : стала Колмогорова ~ 1.5
Дійсне для L^-1 << k << eta^-1 (L = інтегральний масштаб, eta = мікромасштаб Колмогорова)
Нахил −5/3 спектра енергії — це передбачення Колмогорова 1941 року, і воно напрочуд добре підтверджується в експериментах і симуляціях у широкому діапазоні чисел Рейнольдса. Симуляція будує цей спектр у реальному часі, дозволяючи вимірювати нахил і спостерігати, як він крутішає від −2 (початковий великомасштабний режим) до −5/3 у міру розвитку турбулентності, а потім знову вирівнюється, коли енергія накопичується на масштабі дисипації.
🫧Бульбашка, що спливає — нестійкість Релея–Тейлора та деформація
Випустіть легку газову бульбашку в густій рідині. Керуйте радіусом бульбашки, співвідношенням густин і поверхневим натягом. Спостерігайте, як бульбашка деформується зі сферичної через сплюснуту до тороїдальної (пончикоподібної) форми в міру спливання, і як виникають шпилі Релея–Тейлора при оберненій стратифікації густини.
Бульбашка, що спливає, керується балансом плавучості, опору, поверхневого натягу та інерції. Для малих бульбашок поверхневий натяг утримує сферичну форму, і домінує опір Стокса. Для великих бульбашок перемагає інерція: бульбашка деформується в сплюснутий сфероїд, потім у сферичний ковпак, і — за відповідного співвідношення густин — зрештою відщеплює свою задню частину, утворюючи тороїдальне вихрове кільце. Безрозмірні числа, що керують цією фазовою діаграмою, — це число Етвеша Eo = gΔρR²/σ (відношення плавучості до поверхневого натягу) і число Мортона Mo = gμ&sup4;Δρ/(ρ²σ³).
Нестійкість Релея–Тейлора виникає, коли важча рідина розташована над легшою (наприклад, вода над олією, або густа зоряна речовина над конвективною зоною). Малі збурення на межі розділу зростають експоненційно зі швидкістю зростання γ = sqrt(A·g·k), де A — число Атвуда (ρ&sub2;−ρ&sub1;)/(ρ&sub2;+ρ&sub1;), а k — хвильове число. На межі розділу швидко утворюються «шпилі» важкої рідини, що падають крізь «бульбашки» легкої рідини — патерн, який спостерігається як у залишках наднових, так і в капсулах інерційного термоядерного синтезу, і навіть у перевернутих банках з фарбою.
Розріджений газ — DSMC та режими числа Кнудсена
Симулюйте потік газу на молекулярному масштабі методом прямого статистичного моделювання (DSMC). Змінюйте число Кнудсена від суцільного середовища (Kn < 0.001) до вільномолекулярного (Kn > 10). Спостерігайте прослизання швидкості, стрибок температури та ефекти шару Кнудсена, які рівняння Нав'є–Стокса повністю пропускають.
Рівняння Нав'є–Стокса передбачають, що рідина є суцільним середовищем — коректне наближення, коли довжина вільного пробігу λ набагато менша за характерний масштаб потоку L. Відношення Kn = λ/L, число Кнудсена, показує, коли це наближення руйнується. При Kn > 0.01 прослизання швидкості біля стінок стає вимірюваним; при Kn > 0.1 весь профіль швидкості змінює характер; при Kn > 10 молекули летять від стінки до стінки без жодних зіткнень (вільномолекулярний потік). Цей режим повсюдний в аеродинаміці космічних апаратів, MEMS-пристроях і у верхній атмосфері вище 80 км.
Метод DSMC (прямого статистичного моделювання Монте-Карло), розроблений Ґремом Бердом у 1960-х роках, симулює репрезентативну вибірку молекул, обчислюючи їхні траєкторії та стохастичні зіткнення на кожному кроці за часом. Він збігається до рівняння Больцмана, а не Нав'є–Стокса, і відтворює ефекти на кшталт відхилення функцій розподілу швидкостей від рівноваги Максвелла–Больцмана — ефекти, які жоден метод суцільного середовища відтворити не може.
🌊В'язкопружні хвилі — модель Максвелла та модель Кельвіна–Фойгта
Пошліть хвильовий імпульс крізь в'язкопружне середовище. Перемикайтеся між моделями Максвелла (пружина і демпфер послідовно) і Кельвіна–Фойгта (паралельно). Спостерігайте дисперсію швидкості хвилі, загасання та перехід від пружної поведінки твердого тіла до в'язкої поведінки рідини зі зміною частоти.
Більшість реальних рідин не є ні чисто в'язкими (як вода), ні чисто пружними (як гума): вони в'язкопружні. Слиз, кров, розплавлені полімери, біологічні гелі та мантія Землі — усі вони течуть, як рідини, на великих часових масштабах і пружно відновлюються, як тверді тіла, на коротких. Модель Максвелла описує це за допомогою єдиного часу релаксації τ:
Визначальне рівняння Максвелла:
dσ/dt + σ/τ = G * dε/dt
σ : напруження (Па) ε : деформація
G : модуль пружності (Па) τ = η/G : час релаксації (с)
η : динамічна в'язкість (Па·с)
На часових масштабах t << τ : поведінка твердого тіла (пружне накопичення)
На часових масштабах t >> τ : поведінка рідини (в'язка течія)
Швидкість хвилі у рідині Максвелла (частота ω):
c(ω) = sqrt(G/ρ) * |ωτ| / sqrt(1 + ω^2 τ^2)
→ 0 при низькій частоті (немає зсувних хвиль у рідині)
→ sqrt(G/ρ) при високій частоті (швидкість зсувної хвилі твердого тіла)
II. Астрофізика: зоряні надра, білі карлики та транзити екзопланет
⭐Зоряні надра — рівняння будови та зорі головної послідовності
Інтегруйте чотири рівняння зоряної будови для зорі обраної маси та складу. Візуалізуйте радіальні профілі тиску, температури, густини та світності. Перемикайтеся між радіативними та конвективними зонами; змінюйте склад, щоб спостерігати рух зорі на діаграмі Герцшпрунга–Рассела.
Зоря — це самогравітаційна куля газу в гідростатичній рівновазі: гравітація тягне всередину, градієнт тиску штовхає назовні, а ядерні реакції в центрі постачають енергію, яка підтримує температурний градієнт. Чотири взаємопов'язані диференціальні рівняння описують усю будову:
Рівняння зоряної будови:
dM/dr = 4π r^2 ρ (неперервність маси)
dP/dr = -G M(r) ρ / r^2 (гідростатична рівновага)
dL/dr = 4π r^2 ρ ε(r,T,X) (генерація енергії)
dT/dr = -(3 κ ρ L) / (64π σ_SB r^2 T^3) (радіативний перенос)
або -(1 - 1/γ) T/P * dP/dr (адіабатичний, якщо конвективний)
ρ : густина κ : непрозорість ε : швидкість генерації ядерної енергії
X : масова частка водню γ : показник адіабати
σ_SB : стала Стефана–Больцмана
Перемикання між радіативним і конвективним переносом визначається критерієм Шварцшильда: конвекція виникає там, де реальний температурний градієнт стає крутішим за адіабатичний. Маломасивні зорі, як Сонце, мають конвективні оболонки навколо радіативного ядра; масивні зорі понад приблизно 1,5 M⊙ мають протилежну будову — конвективні ядра й радіативні оболонки. Симуляція показує обидва випадки й дозволяє відстежувати межу в реальному часі під час зміни маси зорі.
pp-ланцюжок і CNO-цикл
Нижче приблизно 1,5 сонячної маси в ядерному горінні домінує протон-протонний ланцюжок: чотири протони зливаються в одне ядро гелію-4, вивільняючи 26,73 МеВ (дефект маси, перетворений за E = mc²). Вище 1,5 M⊙ домінує CNO-цикл, що використовує вуглець, азот і кисень як каталізатори. Оскільки швидкість CNO-циклу масштабується приблизно як T^20 проти T^4 для pp-ланцюжка, зорі з CNO-циклом значно чутливіші до температури: незначне зростання центральної температури дає величезне зростання світності, що пояснює, чому головна послідовність різко крутішає вище 1,5 M⊙ на діаграмі Герцшпрунга–Рассела.
Охолодження білого карлика — закон Местела та кристалізація
Простежте за вуглецево-кисневим білим карликом, що охолоджується протягом мільярдів років. Побудуйте графік світності в залежності від віку (закон охолодження Местела). Спостерігайте, як ядро кристалізується в міру затвердіння іонної плазми, вивільняючи приховане тепло, яке тимчасово зупиняє криву охолодження — точно так, як спостерігав Gaia для найближчих білих карликів.
Білий карлик не має ядерного джерела енергії. Це просто гаряча жаринка — вироджене вуглецево-кисневе ядро приблизно розміром із Землю — що випромінює накопичену теплову енергію в космос. Оскільки тиск виродження електронів підтримує його проти гравітації незалежно від температури, охолодження не спричиняє стиснення: зоря просто тьмяніє. Класичний закон охолодження Местела дає світність як функцію віку:
Закон охолодження Местела (спрощений):
L/L_sun ~ 10^5 * (M/M_sun)^(5/7) * (mu_e / mu_I)^(2/7) * (t / 1 Gyr)^(-7/5)
mu_e : середня молекулярна маса на електрон
mu_I : середня молекулярна маса на іон
t : вік охолодження (млрд років)
Білий карлик 0.6 M_sun CO досягає L ~ 10^-4 L_sun приблизно за 5 млрд років
і L ~ 10^-5 L_sun приблизно за 10 млрд років (найтьмяніші найближчі білі карлики)
Закон охолодження — потужний космохронометр: найхолодніші білі карлики в зоряній популяції дають нижню межу її віку. Але є нюанс. Коли температура ядра падає нижче приблизно 10&sup6; K, параметр кулонівського зв'язку Γ (відношення електростатичної енергії до теплової) перевищує 175, і іонна ґратка кристалізується. Фазовий перехід вивільняє приховане тепло, тимчасово зупиняючи охолодження і створюючи скупчення білих карликів на певній світності — ознака, чітко виявлена Gaia DR2 на діаграмі Герцшпрунга–Рассела для 260 000 найближчих білих карликів.
Білі карлики — найпоширеніший тип зоряних решток у Галактиці. Близько 97% усіх зір, включно із Сонцем, закінчать своє життя як білі карлики. Оскільки вони охолоджуються монотонно й передбачувано, перепис світностей білих карликів еквівалентний перепису віку зір — «функція світності білих карликів» є одним із небагатьох модельно-незалежних годинників, доступних галактичній археології.
Фотометрія транзиту екзопланети — криві блиску та потемніння до краю
Налаштуйте зорю і планету на орбіті (відношення радіусів, орбітальний нахил, велика піввісь, коефіцієнт потемніння до краю). Симулюйте криву блиску транзиту й відновіть радіус планети з глибини провалу. Додайте шум, щоб імітувати спостереження Kepler чи TESS, і потренуйтеся підганяти модель транзиту.
Коли планета проходить перед своєю материнською зорею, вона блокує крихітну частку зоряного світла: глибина транзиту δ = (R_p/R_*)², де R_p — радіус планети, а R_* — радіус зорі. Для аналога Земля-Сонце δ ~ (6371/696000)² ~ 84 ppm — потьмяніння на 0,0084%, доступне для космічної фотометрії Kepler чи TESS, але невидиме з Землі. Для гарячого юпітера (R_p ~ 1,2 R_Jup, R_* ~ 1 R_Sun) δ ~ 1,3%, легко вимірювана навіть скромним телескопом.
Ключові спостережувані параметри транзиту:
Глибина транзиту: δ = (R_p / R_*)^2
Тривалість транзиту: T_14 = (P / π) * arcsin(sqrt((R_* + R_p)^2 - b^2 R_*^2) / a)
Параметр удару: b = (a/R_*) * cos(i) (i = орбітальний нахил)
Потемніння до краю (квадратичний закон):
I(μ) / I(1) = 1 - u_1*(1-μ) - u_2*(1-μ)^2
μ = cos(θ) θ = кут від центру диска
u_1, u_2 : табульовані за моделями зоряних атмосфер (наприклад, ATLAS9)
Потемніння до краю округлює плоскодонний транзит у вигнутий провал
і має враховуватися для точного відновлення R_p.
Симуляція відтворює модель транзиту з чотирма точками контакту: перший зовнішній контакт (T1), перший внутрішній контакт (T2), другий внутрішній контакт (T3) і другий зовнішній контакт (T4). Між T2 і T3 планета повністю на зоряному диску, і зменшення потоку приблизно стале на глибині δ; нахили входу (T1–T2) і виходу (T3–T4) кодують відношення радіусів планети до зорі та швидкість транзиту. Потемніння до краю — той факт, що край зорі холодніший і тьмяніший за центр, — округлює плоске дно у вигнуту чашу, ефект, особливо помітний у синіх оптичних діапазонах.
Що транзити розкривають, окрім радіуса
Одна крива блиску транзиту дає радіус планети (з глибини), орбітальний нахил (з тривалості) і профіль потемніння до краю (із кривизни під час транзиту). Поєднайте з вимірюваннями радіальної швидкості — і отримаєте масу планети, а отже, її середню густину — ключ до розрізнення кам'янистих суперземель, водних світів і міні-нептунів. Трансмісійна спектроскопія, що вимірює, як глибина транзиту змінюється з довжиною хвилі, досліджує атмосферу планети: молекулярні смуги поглинання води, вуглекислого газу, метану чи натрію збільшують ефективний радіус на певних довжинах хвиль і залишають відбиток на залежній від довжини хвилі глибині. Це основний інструмент характеризації атмосфер екзопланет за допомогою JWST.
Спробуйте всі вісім симуляцій
💨Вихрове кільце
Запускайте кільця, викликайте стрибання одне через одне, спостерігайте, як тороїдальні вихори зберігаються і возз'єднуються.
Вихор Тейлора–Гріна
Спостерігайте, як гладке синусоїдальне поле переходить у турбулентність; спостерігайте виникнення енергетичного спектра Колмогорова −5/3.
Бульбашка, що спливає
Простежте за бульбашкою від сферичної до тороїдальної форми, коли плавучість, поверхневий натяг та інерція змагаються; викличте нестійкість Релея–Тейлора при оберненому градієнті густини.
Розріджений газ (DSMC)
Змінюйте число Кнудсена й спостерігайте, як руйнується механіка суцільного середовища; спостерігайте прослизання швидкості та вільномолекулярний потік на молекулярному масштабі.
В'язкопружні хвилі
Пошліть імпульси крізь середовища Максвелла та Кельвіна–Фойгта; спостерігайте дисперсію, загасання та перехід тверде тіло–рідина зі зміною частоти.
Зоряні надра
Інтегруйте рівняння зоряної будови для будь-якої маси; досліджуйте конвективні та радіативні зони й спостерігайте рух зорі на діаграмі Герцшпрунга–Рассела.
Охолодження білого карлика
Простежте закон охолодження Местела протягом мільярдів років; спостерігайте зупинку внаслідок кристалізації та її слід у функції світності.
Фотометрія транзиту екзопланети
Побудуйте криву блиску транзиту з нуля; відновіть радіус планети та нахил; додайте шум, щоб імітувати спостереження Kepler і TESS.
Підсумкова думка
Гідродинаміка та астрофізика мають набагато більше спільного, ніж зазвичай визнають. Ті самі рівняння Нав'є–Стокса, що керують кільцем диму, також описують конвекцію в надрах Сонця. Та сама нестійкість Релея–Тейлора, що руйнує бульбашку, яка спливає, також засіває структуру в залишку наднової. Та сама в'язкопружна реологія, що керує течією полімерів, також визначає, як мантія Землі реагує на льодовикове навантаження протягом тисячоліть. Хвиля 110 розміщує ці вісім симуляцій поруч, щоб ви могли побачити ці нитки зв'язку й потягнути за них самостійно — без встановлення, без залежностей, лише фізика, що працює у вашому браузері.