Spotlight #66: Фізика конденсованого стану — Ізінг, БЕК, надпровідники та спінові скла

Ось дивовижний факт: приблизно 40% усіх опублікованих досліджень з фізики стосуються фізики конденсованого стану. У цій галузі присуджено більше Нобелівських премій, ніж у будь-якій іншій сфері фізики. Проте сама назва майже невідома за межами академічного середовища, бо те, що вивчають фізики конденсованого стану, зазвичай виступає під іншими іменами, коли доходить до широкого загалу: надпровідність, напівпровідники, магнетизм, надплинність, топологічні ізолятори. Симуляції в цьому огляді дозволяють дослідити п'ять фундаментальних явищ, що лежать в основі цієї величезної і надзвичайно важливої галузі.

I. Модель Ізінга — як порядок виникає з хаосу

Модель Ізінга оманливо проста: розмістіть на ґратці набір спінів, кожен з яких може бути спрямований або вгору (+1), або вниз (−1). Кожен спін взаємодіє лише зі своїми найближчими сусідами. Однак ця іграшкова модель відтворює суттєву фізику феромагнітних фазових переходів — спонтанне виникнення макроскопічного порядку з мікроскопічної випадковості, коли температура опускається нижче критичного значення.

Енергія системи визначається гамільтоніаном:

H = -J * sum_{} s_i * s_j - mu * B * sum_i s_i

  J    : константа зв'язку (J > 0 феромагнетик, J < 0 антиферомагнетик)
  s_i  : спін у вузлі i (+1 або -1)
   : сума за парами найближчих сусідів
  mu   : магнітний момент
  B    : зовнішнє магнітне поле

Критична температура (2D квадратна ґратка, точний розв'язок Онзагера):
  k_B * T_c = 2J / ln(1 + sqrt(2))  ≈ 2.269 J

Параметр порядку: намагніченість m = (1/N) * sum_i s_i
  m ≈ 0   для T >> T_c  (невпорядкований, парамагнітний стан)
  m ≈ ±1  для T << T_c  (впорядкований, феромагнітний стан)

Фазовий перехід при T_c є переходом другого роду: намагніченість неперервно зростає від нуля, коли температура опускається нижче критичної точки. Поблизу T_c система демонструє критичні явища — масштабно-інваріантні флуктуації, кореляції за степеневим законом і розбіжну сприйнятливість — які описуються універсальними критичними показниками, незалежними від мікроскопічних деталей. Двовимірна модель Ізінга — одна з дуже небагатьох точно розв'язних моделей у статистичній механіці, розв'язана Ларсом Онзагером у 1944 році — справжній тур де форс математичної фізики.

Симуляція використовує алгоритм Метрополіса-Гастінгса для вибірки з розподілу Больцмана: пропонується випадкове перевертання спіна, воно приймається, якщо знижує енергію, і приймається з ймовірністю exp(-ΔE / k_B T), якщо підвищує енергію. Такий підхід Монте-Карло природно породжує теплові флуктуації, доменні стінки та поступове зародження магнітного порядку в міру того, як ви пересуваєте повзунок температури нижче T_c.

II. Конденсація Бозе-Ейнштейна — п'ятий стан матерії

У 1924 році Сатьєндранат Бозе та Альберт Ейнштейн передбачили, що бозони — частинки з цілим спіном — при достатньо низьких температурах усі колапсують в єдиний найнижчий за енергією квантовий стан, доступний їм. На відміну від ферміонів (які підпорядковуються принципу заборони Паулі та мусять займати різні стани), бозони, навпаки, охоче скупчуються в одному стані. Результатом є макроскопічний квантовий об'єкт: конденсат Бозе-Ейнштейна (БЕК).

Перехід відбувається тоді, коли теплова довжина хвилі де Бройля частинок стає порівнянною з відстанню між частинками — приблизно тоді, коли квантові хвильові функції починають перекриватися:

Теплова довжина хвилі де Бройля:
  lambda_dB = h / sqrt(2 * pi * m * k_B * T)

Критична температура (3D ідеальний бозе-газ):
  T_c = (h^2 / (2 * pi * m * k_B)) * (n / zeta(3/2))^(2/3)
  zeta(3/2) ≈ 2.612  (дзета-функція Рімана)
  n : числова густина

Частка конденсату нижче T_c:
  N_0 / N = 1 - (T / T_c)^3

БЕК описується єдиною макроскопічною хвильовою функцією (параметром порядку):
  Psi(r, t) = sqrt(n_0) * exp(i * phi(r, t))
  n_0 : густина конденсату
  phi : макроскопічна фаза (когерентна по всьому конденсату)

Уперше БЕК було створено в лабораторії у 1995 році Еріком Корнеллом і Карлом Віманом (з атомами рубідію) та Вольфгангом Кеттерле (з атомами натрію), за що вони отримали Нобелівську премію з фізики 2001 року. Задіяні температури — близько 100 нанокельвінів, найхолодніші місця у відомому Всесвіті — вимагають складних технік лазерного охолодження та магнітного захоплення.

Найбільш вражаюча властивість БЕК — його надплинність: нижче температури конденсації квантова когерентність конденсату пригнічує дисипацію, і рідина тече з нульовою в'язкістю. Якщо перемішати надплинну рідину досить швидко, вона генерує квантовані вихори — вихрові лінії, навколо яких фаза параметра порядку намотується рівно на 2π, кожна несучи один квант кутового моменту.

III. Контакти Джозефсона — квантове тунелювання на макроскопічному масштабі

Контакт Джозефсона — один із найдивовижніших квантових пристроїв, коли-небудь вигаданих: два надпровідники, розділені тонким ізоляційним бар'єром, крізь який квантово-механічно тунелюють куперівські пари (зв'язані пари електронів, відповідальні за надпровідність). Увесь контакт описується лише двома числами — різницею фаз φ між макроскопічними хвильовими функціями двох надпровідників і критичним струмом I_c. Проте з цих двох чисел виникають два глибокі явища.

DC-ефект Джозефсона (нульова напруга, ненульовий струм):
  I = I_c * sin(phi)
  phi : різниця фаз на контакті

AC-ефект Джозефсона (ненульова напруга породжує осцилюючий струм):
  d(phi)/dt = (2e / hbar) * V
  f_J = (2e / h) * V  (частота Джозефсона)
  f_J ≈ 483.6 ГГц / мВ  (точне значення, використовується як еталон напруги)

Модель RCSJ (резистивно та ємнісно шунтований контакт):
  C * d^2(phi)/dt^2 + (1/R) * d(phi)/dt + I_c * sin(phi) = I_bias

  Це математично ідентично демпфованому керованому маятнику:
  m * d^2(theta)/dt^2 + b * d(theta)/dt + (mg/L) * sin(theta) = tau

Придушення критичного струму в магнітному полі (картина Фраунгофера):
  I_c(Phi) = I_c0 * |sin(pi * Phi / Phi_0) / (pi * Phi / Phi_0)|
  Phi_0 = h / 2e ≈ 2.07e-15 Вб  (квант магнітного потоку)

DC-ефект Джозефсона надзвичайний: надструм тече при нульовій прикладеній напрузі, зумовлений виключно квантовою різницею фаз. AC-ефект Джозефсона — коли постійна напруга породжує осцилюючий надструм з точно визначеною частотою — настільки точний, що нині визначає одиницю вольта в СІ. Сучасні еталони напруги в усьому світі базуються на масивах контактів Джозефсона.

IV. Спінові скла — фрустрація та заморожений безлад

Що станеться, якщо взяти модель Ізінга і зробити константи зв'язку J_{ij} випадковими — інколи феромагнітними, інколи антиферомагнітними, з випадковим вибором для кожного зв'язку? Результатом є спінове скло: система настільки фрустрована, що не може знайти простий упорядкований основний стан, і замість цього заморожується в одну з астрономічно великої кількості метастабільних конфігурацій, усі з майже однаковою енергією.

Гамільтоніан спінового скла:
  H = -sum_{} J_ij * s_i * s_j

Параметр порядку Едвардса-Андерсона (вимірює локальне заморожування, а не глобальний порядок):
  q_EA = lim_{t -> inf} (1/N) * sum_i 
  q_EA = 0  у парамагнітній фазі (спіни вільно флуктуюють)
  q_EA > 0  у фазі спінового скла (спіни заморожені, але випадково орієнтовані)

Фрустрація: трикутник антиферомагнітних зв'язків (J < 0) є фрустрованим,
  тому що неможливо задовольнити всі три зв'язки одночасно.
  На трикутній ґратці з J < 0 всюди:
    будь-яка конфігурація залишає щонайменше один зв'язок незадоволеним.

Ландшафт вільної енергії:
  Експоненційно багато локальних мінімумів, розділених бар'єрами, пропорційними sqrt(N).
  Час встановлення рівноваги ~ exp(alpha * N^sigma): зростає швидше за будь-який поліном.

Спінові скла демонструють старіння — чим старший зразок, тим повільніше він реагує на збурення — та ефекти пам'яті, за яких спінове скло «пам'ятає» свою теплову передісторію. Ці властивості роблять спінові скла прототипом для набагато ширшого класу задач: будь-якої складної системи з багатьма конкуруючими обмеженнями та експоненційно нерівним енергетичним ландшафтом. За допомогою теорії спінового скла аналізували згортання білків, нейронні мережі, евристики оптимізації і навіть соціальну динаміку.

Модель Шеррінгтона-Кіркпатрика (SK) поширює це на взаємодії необмеженого радіусу і була розв'язана Джорджо Парізі у 1980-х роках за допомогою реплічного методу — одного з найскладніших у технічному сенсі обчислень у теоретичній фізиці, за яке Парізі отримав Нобелівську премію з фізики 2021 року.

V. Топологічні крайові стани — модель SSH

Відкриття того, що квантові стани матерії можна класифікувати не лише за порушенням симетрії (як теорія Ландау класифікує феромагнетики й надпровідники), а й за топологією — глобальною властивістю хвильової функції, яку не можна змінити плавними деформаціями — стало однією з визначних подій фізики кінця двадцятого століття, за яку Таулесс, Холдейн і Костерліц отримали Нобелівську премію 2016 року. Найпростіша модель, що відтворює топологічну фізику, — це ланцюжок Су-Шріффера-Хігера (SSH).

Гамільтоніан SSH (1D ланцюжок димерів):
  H = -sum_i [ t1 * c_{i,A}^dag * c_{i,B} + t2 * c_{i,B}^dag * c_{i+1,A} ] + h.c.

  t1 : амплітуда перескоку всередині комірки
  t2 : амплітуда перескоку між комірками

Гамільтоніан Блоха в імпульсному просторі:
  H(k) = (t1 + t2 * cos(k)) * sigma_x + t2 * sin(k) * sigma_y

Число намотування (топологічний інваріант):
  nu = (1 / 2pi) * integral_BZ d(phi(k))
  phi(k) = arg(t1 + t2 * exp(ik))

  nu = 0  якщо |t1| > |t2|  (тривіальна фаза, без крайових станів)
  nu = 1  якщо |t1| < |t2|  (топологічна фаза, крайові стани з нульовою енергією)

Об'ємно-крайова відповідність:
  Ланцюжок у топологічній фазі (nu = 1) з відкритими граничними умовами
  має рівно два стани з нульовою енергією, локалізовані на двох кінцях,
  незалежно від довжини ланцюжка (для достатньо великого N).

Топологічний фазовий перехід відбувається при t1 = t2: об'ємна заборонена зона закривається і знову відкривається, а число намотування перескакує з 0 на 1 (або назад). Крайові стани є «топологічно захищеними» — їх не можна усунути жодним збуренням, що зберігає симетрії гамільтоніана і не закриває об'ємну заборонену зону. У реальних матеріалах ця стійкість означає, що крайова провідність у топологічних ізоляторах несприйнятлива до домішок, безладу та поверхневих недосконалостей.

Модель SSH спершу була запропонована для опису провідних полімерів (поліацетилену) у 1979 році і допомогла пояснити, чому легований поліацетилен міг проводити електричний струм, попри номінальну заборонену зону. Сьогодні фізика SSH проявляється в холодних атомах в оптичних ґратках, фотонних кристалах, акустичних метаматеріалах і крайових станах двовимірних топологічних ізоляторів, таких як квантові ями HgTe — усі вони описуються тим самим топологічним інваріантом і тією самою об'ємно-крайовою відповідністю.

Спробуйте самі

П'ять симуляцій, розглянутих в цьому огляді, охоплюють центральні концепції фізики конденсованого стану. Радимо досліджувати їх у запропонованому порядку: модель Ізінга формує інтуїцію щодо фазових переходів; симуляція БЕК показує, що відбувається, коли фазовий перехід зумовлений квантовою статистикою, а не взаємодіями; контакт Джозефсона демонструє квантову когерентність на макроскопічному масштабі; спінове скло розкриває, що фрустрація робить зі здатністю системи впорядковуватися; а модель SSH знайомить з топологічною перспективою, яка переформатувала цю галузь із 1980-х років.

• Модель Ізінга — магнітний фазовий перехід — перетягніть температуру через T_c і спостерігайте зародження доменів
• Конденсат Бозе-Ейнштейна — охолодіть нижче критичної температури і спостерігайте зростання частки конденсату
• Контакт Джозефсона — збільшуйте струм зміщення понад критичний струм і спостерігайте стрибок напруги
• Спінове скло — порівняйте вплив швидкості охолодження на заморожену конфігурацію
• Топологічний ізолятор (SSH) — налаштуйте t1/t2 через межу фаз і спостерігайте появу крайових станів

Заключна думка

Фізику конденсованого стану іноді називають «фізикою всього іншого» — тобто всього, що не є елементарною частинкою чи зіркою. Явища, розглянуті в цьому огляді, — не курйози, обмежені лабораторіями наднизьких температур. Контакти Джозефсона лежать в основі найчутливіших з коли-небудь створених детекторів магнітного поля (СКВІДів), еталону напруги, який використовує кожен національний інститут метрології, і архітектур кубітів, що розробляються для квантових обчислень. Топологічні ізолятори досліджуються як платформи для стійких до помилок квантових обчислень через ферміони Майорани. Математика спінового скла з'являється в теорії глибокого навчання. Модель Ізінга використовується для моделювання всього — від згортання білків до обвалів на фінансових ринках. Розуміння цих симуляцій — це не просто фізика заради фізики, а фізика, яка формує технології наступного десятиліття.