Spotlight #65 – Спортивна фізика, робототехніка та графіка: опір велосипеда, руки FABRIK і рей-марчинг

I. Аеродинаміка велосипеда — чому швидкість коштує так дорого

Велоспорт — це боротьба з повітрям. На швидкості 40 км/год на рівній ділянці близько 90% потужності велосипедиста йде на подолання опору повітря. Опір кочення й тертя трансмісії ділять між собою решту 10%. Саме тому професійні велосипедисти так одержимі положенням тіла, формою шолома та висотою шкарпеток — крихітні зменшення площі аеродинамічного опору напряму перетворюються на секунди, зекономлені на кожному кілометрі.

Аеродинамічна сила опору, що діє на велосипедиста, пропорційна квадрату швидкості й одному складеному параметру CₜA — добутку коефіцієнта опору Cₜ (безрозмірний форм-фактор) і лобової площі A (у м²). Потужність, будучи добутком сили на швидкість, тоді масштабується як куб швидкості. Це кубічне співвідношення — центральний факт велосипедної аеродинаміки: подвоєння швидкості вимагає у вісім разів більшої аеродинамічної потужності.

F_опору = 0.5 * rho * v^2 * CdA
P_аеро = F_опору * v = 0.5 * rho * v^3 * CdA
P_кочення = Crr * m * g * cos(theta) * v   (опір кочення)
P_підйом = m * g * sin(theta) * v          (гравітаційна складова)
P_загальна = P_аеро + P_кочення + P_підйом

Типові значення CdA (велосипедист + велосипед):
  Пряма посадка (містом)      : 0.50 -- 0.60 м^2
  Посадка на опущеному кермі  : 0.30 -- 0.38 м^2
  Розділкова позиція (TT)     : 0.18 -- 0.24 м^2
  Рекорд години                : ~0.18 м^2

Густина повітря: rho = 1.225 * exp(-висота / 8500)  (кг/м^3)

Симуляція включає регулювання висоти над рівнем моря, оскільки густина повітря експоненційно спадає з висотою — на 2000 м (типово для гірського етапу) повітря приблизно на 21% розрідженіше, ніж на рівні моря, що зменшує аеродинамічний опір на ту саму частку і частково пояснює, чому рекорди часто встановлюють саме на висоті.

Драфтинг: як сховатись у слідовому потоці

Їзда близько за іншим велосипедистом поміщає вас у його слід — область турбулентного повітря зниженого тиску, що частково захищає вас від зустрічного потоку. Лідер виконує більшу частину аеродинамічної роботи; той, хто їде позаду, економить енергію. Дослідження в аеродинамічній трубі показують, що на відстані 2 м позаду одного лідера ефективний CdA того, хто їде слідом, зменшується приблизно на 27%. У пелотоні з 50 велосипедистів ті, хто «похований» у середині, можуть заощадити 40% і більше своєї аеродинамічної потужності.

CdA_позаду(відстань) ~ CdA_соло * (1 - 0.27 * exp(-відстань / 3.5))
  відстань : дистанція позаду лідера (м)
  При відстані = 0 (торкання коліс): ~35% зменшення
  При відстані = 5 м                : ~10% зменшення
  При відстані = 10 м               : ~4% зменшення (незначно)

Симуляція дозволяє розташувати до чотирьох велосипедистів у лінію й спостерігати, як потрібна потужність кожного з них змінюється в реальному часі, ілюструючи, чому командна тактика у велоспорті настільки важлива: помічники (домештики) жертвують власною гонкою, ведучи групу, щоб прикрити лідера команди, який прибуває на фінальний підйом зі свіжішими ногами.

II. FABRIK — обернена кінематика без тригонометрії

Обернена кінематика (IK) — це задача пошуку кутів суглобів, які розміщують кінцевий ефектор роботизованої руки в бажаній позиції. «Обернена» — це те, що робить задачу складною: перехід від кутів суглобів до позиції кінцевого ефектора (пряма кінематика) — проста композиція обертань. Рух у зворотному напрямку — від цільової позиції до кутів суглобів — має кілька розв'язків або жодного, і наївно вимагає розв'язання нелінійної системи рівнянь.

Класичний підхід використовує матрицю Якобі для лінеаризації задачі й розв'язує її ітеративно методом демпфованих найменших квадратів. Це працює, але вимагає обернення матриці, що дорого для великої кількості суглобів. FABRIK (Forward And Backward Reaching Inverse Kinematics — «пряме й зворотне досягнення в оберненій кінематиці»), запропонований Арістідоу та Лейсенбі у 2011 році, обходить усе це за допомогою напрочуд простого геометричного спостереження: кути обчислювати взагалі не потрібно — достатньо просто рухати суглоби.

Алгоритм

Позначимо позиції суглобів p₀ (корінь) до pₙ (кінцевий ефектор), з довжинами ланок d₁ до dₙ. Прямий прохід тягне ланцюг до цілі; зворотний прохід повторно закріплює його до кореня.

Прямий прохід (тягнемо кінцевий ефектор до цілі):
  p[n] = ціль
  для i = n-1 до 0:
    r = |p[i] - p[i+1]|       (відстань між сусідніми суглобами)
    lambda = d[i+1] / r
    p[i] = (1 - lambda) * p[i+1] + lambda * p[i]

Зворотний прохід (повторне закріплення кореня):
  p[0] = корінь (фіксований)
  для i = 1 до n:
    r = |p[i] - p[i-1]|
    lambda = d[i] / r
    p[i] = (1 - lambda) * p[i-1] + lambda * p[i]

Повторювати, доки |p[n] - ціль| < допуск (зазвичай 3-10 ітерацій)

Обмеження кута суглоба (для кожного суглоба):
  обмежити кут між сегментами p[i-1]->p[i] і p[i]->p[i+1]
  у межах конуса з половинним кутом phi навколо напрямку спокою

Кожен прохід має складність O(n) і тривіально розпаралелюється. Алгоритм надійно збігається для досяжних цілей і обробляє будь-яку кількість ланок. Коли ціль знаходиться поза межами досяжності ланцюга, FABRIK витягує ланцюг у прямій лінії до неї. Коли застосовуються обмеження суглобів, алгоритм обмежує кожен кут суглоба наприкінці кожного проходу перед тим, як продовжити — локальна операція, що не вимагає глобального перерахунку.

FABRIK широко використовується в іграх і робототехніці саме завдяки своїй простоті та швидкості. І Unreal Engine, і Unity включають розв'язувачі IK на основі FABRIK у своїх системах анімації. Симуляція додає аналітичний розв'язок для дволанкового випадку для порівняння та режим уникнення перешкод, який штрафує конфігурації суглобів, що перетинають набір кругових перешкод.

III. Рей-марчинг — рендеринг без трикутників

Растеризація — процес проєктування трикутників на екран — це те, як створюється практично кожне зображення 3D у реальному часі. Але є й інший підхід: для кожного пікселя пускати промінь із камери і знаходити, де він перетинає геометрію сцени. Це основа трасування променів та його близького родича — рей-марчингу.

Рей-марчинг замінює явну геометрію функцією знакової відстані (SDF): функцією, яка бере точку в просторі й повертає знакову відстань до найближчої поверхні (від'ємну всередині, додатну зовні, нуль на поверхні). Щоб «промарширувати» промінь, починаємо з камери й робимо кроки вздовж напрямку променя. На кожному кроці запитуємо SDF, щоб знайти відстань до найближчої поверхні — ми знаємо, що можемо безпечно зробити крок такої довжини, нічого не зачепивши. Якщо відстань опускається нижче порогу, ми влучили в поверхню. Якщо накопичена відстань перевищує максимум, промінь проходить повз.

SDF сфери:   d = |p - центр| - радіус
SDF куба:    q = |p - центр| - половина_розміру
             d = |max(q, 0)| + min(max(q.x, q.y, q.z), 0)
SDF тора:    q = (|p.xz| - R, p.y)
             d = |q| - r

Згладжене об'єднання (smooth-min):
  smin(a, b, k) = -log(exp(-k*a) + exp(-k*b)) / k   (експоненційний варіант)
  або:
  h = clamp(0.5 + 0.5*(b-a)/k, 0.0, 1.0)           (поліноміальний варіант)
  smin(a, b, k) = mix(b, a, h) - k*h*(1-h)

Оцінка нормалі (центральні різниці):
  n = normalize(vec3(
    SDF(p + eps.xyy) - SDF(p - eps.xyy),
    SDF(p + eps.yxy) - SDF(p - eps.yxy),
    SDF(p + eps.yyx) - SDF(p - eps.yyx)
  ))

Затінення за Фонгом:
  I = k_a * I_a + k_d * I_d * max(dot(n, L), 0) + k_s * I_s * max(dot(r, v), 0)^alpha

Функція smooth-min — секретний інгредієнт, що робить SDF-и композиційно цікавими. Замість жорсткого об'єднання (взяти мінімум двох SDF, що створює гострий шов), smooth-min змішує дві поверхні в області, контрольованій параметром k. Низьке k дає різке об'єднання; високе k дає плавне, немов ліплене злиття, ніби обидві форми зроблені з глини й притиснуті одна до одної.

Оцінка нормалі центральними різницями означає, що вам ніколи не потрібно аналітично виводити градієнт — сама SDF повідомляє орієнтацію поверхні. Саме тому навіть екзотичні, ручної роботи SDF-и автоматично отримують коректне затінення, м'які тіні й навколишнє затінення безкоштовно, просто через опитування тієї ж SDF з сусідніх точок.

Симуляція працює повністю у фрагментному GLSL-шейдері — один виклик шейдера на піксель, усе паралельно на GPU. Додавання нового примітива чи оператора змішування вимагає лише кількох рядків GLSL і одразу з'являється в рендері без перекомпіляції основного JavaScript. Саме це робить рей-марчинг на SDF таким потужним творчим середовищем: опис сцени і рендерер — це одне й те саме.

IV. Футбольний удар — ефект Магнуса та закручені м'ячі

Коли м'яч обертається під час польоту, ефект Магнуса штовхає його вбік — перпендикулярно і до швидкості, і до осі обертання. Футбольний м'яч, ударений із боковим обертанням, огинає стінку захисників; верхнє обертання (топспін) гасить відскок м'яча при приземленні; нижнє обертання (бекспін) дозволяє м'ячу оманливо «пливти», перш ніж різко впасти. Кожен закручений штрафний удар і «бананний» удар — це жива демонстрація ефекту Магнуса.

Сила Магнуса виникає тому, що обертання тягне за собою прикордонний шар повітря навколо м'яча, прискорюючи його з одного боку та сповільнюючи з іншого. За принципом Бернуллі (або, точніше, за законом збереження імпульсу у відхиленому повітряному потоці), сторона з вищою швидкістю руху має нижчий тиск, і різниця тисків створює чисту силу, перпендикулярну до вектора швидкості. Величина сили залежить від швидкості обертання ω, радіуса м'яча r та швидкості v.

F_Магнуса = C_L * rho * pi * r^2 * |v x omega| / |omega|
  C_L    : коефіцієнт підйомної сили (~0.25 для футбольного м'яча за ігрових швидкостей обертання)
  rho    : густина повітря (1.225 кг/м^3 на рівні моря)
  r      : радіус м'яча (0.11 м для м'яча розміру 5)
  v      : вектор швидкості (м/с)
  omega  : вектор кутової швидкості (рад/с)

Напрямок: F_Магнуса паралельний до (omega x v)

Сила опору (для довідки):
  F_опору = 0.5 * C_D * rho * A * v^2
  C_D    : коефіцієнт опору (~0.25 для гладкої сфери, ~0.4 для футбольного м'яча)
  A      : площа поперечного перерізу = pi * r^2

Рівняння руху (метод Ейлера):
  a = (F_опору + F_Магнуса + F_гравітації) / m
  v += a * dt
  x += v * dt

Симуляція інтегрує три сили — опір, гравітацію та Магнуса — за допомогою методу Ейлера з фіксованим кроком часу dt = 1 мс, достатньо малим, щоб траєкторія була точною до сантиметра на дистанції штрафного удару в 30 м. Стінка захисників на відстані 9.15 м (регламентна дистанція ФІФА) показана в перерізі, щоб можна було побачити, як добре пробитий м'яч огинає стінку зверху й знову опускається у ворота.

На професійних швидкостях штрафних ударів (25–30 м/с) і швидкостях обертання (8–10 об/с) сила Магнуса може відхилити м'яч на 3–5 м убік за 25 м польоту, тому спеціалісти зі штрафних ударів витрачають тисячі годин, навчаючись відтворювати точну точку контакту ноги з м'ячем і дугу маху, потрібні для надання правильного вектора обертання. Симуляція робить цю чутливість наочною: зміна швидкості обертання на 10% дає помітно іншу траєкторію.