Spotlight #61 – Фізика та інженерія — Архімед, вигин, ПІД-регулювання та 3D-маятник

I. Принцип Архімеда — плавучість і стійкість корабля

Прозріння Архімеда — що на занурене тіло діє виштовхувальна сила, рівна вазі витісненої рідини — один із найстаріших кількісних результатів у фізиці, і він досі щодня використовується інженерами-кораблебудівниками. Виштовхувальна сила спрямована вгору й дорівнює:

F_b  =  ρ_рідини · g · V_зануреного

Для тіла, що плаває у статичній рівновазі, F_b точно врівноважує вагу W = m·g. Цікава фізика починається, коли судно нахиляється. Коли корабель кренується на кут θ, підводний об'єм зміщується вбік: центр плавучості (центроїд витісненого об'єму) мігрує назовні. Метацентр M — це точка, де вертикальна лінія через зміщений центр плавучості перетинає осьову лінію судна. Якщо M лежить вище центра ваги G, відновлювальний момент випрямляє корабель; якщо M лежить нижче G, перекидний момент перевертає його.

Метацентрична висота та відновлювальний момент

Вертикальна відстань GM (метацентрична висота) повністю характеризує стійкість для малих кутів. Відновлювальний момент дорівнює:

M_відновл  =  W · GM · sin(θ)

Велика додатна GM (жорсткий корабель) швидко випрямляється, але спричиняє різку хитавицю, некомфортну для пасажирів і небезпечну для вантажу. Мала GM (м'який корабель) хитається мляво й може не відновитися після великих хвиль. Пасажирські лайнери проєктують у вузьких допусках; повністю завантажений контейнеровоз має зовсім іншу криву стійкості, ніж те саме судно з баластом. IMO вимагає, щоб кораблі мали Буклет інформації про стійкість, що вказує, як метацентрична висота змінюється з умовами завантаження — пряме застосування Архімеда, обчислюване для кожного рейсу.

Симуляція чисельно обчислює витіснений об'єм для кожного кута крену, інтегруючи геометрію корпусу нижче ватерлінії. Це відображає нелінійну поведінку, яку пропускає лінійна метацентрична теорія: крива GZ (плече відновлення проти кута) може мати максимум, впасти до нуля (кут зникнення стійкості) і навіть стати від'ємною на екстремальних кутах, де занурення краю палуби затоплює корпус.

II. Поздовжній вигин колони — критичне навантаження Ейлера

Тонка колона під осьовим стисненням не руйнується прямим розчавленням. Натомість при критичному навантаженні вона раптово відхиляється вбік — вигинається — миттєво втрачаючи несучу здатність. Леонард Ейлер вивів критичне навантаження 1744 року:

P_кр  =  π²EI / (KL)²

Тут E — модуль Юнга, I — момент інерції поперечного перерізу, L — довжина колони, а K — коефіцієнт ефективної довжини, визначений умовами закріплення кінців:

• K = 1.0 — обидва кінці шарнірні (вільні обертатися, не переміщатися)
• K = 0.5 — обидва кінці жорстко закріплені (затиснуті проти обертання)
• K = 0.7 — один кінець закріплений, один шарнірний
• K = 2.0 — один кінець закріплений, один вільний (флагшток)

Формула одразу показує, чому високі, тонкі колони небезпечні: P_кр спадає як L². Подвоєння довжини вчетверо зменшує критичне навантаження. Відповідний геометричний параметр — коефіцієнт гнучкості KL/r, де r = √(I/A) — радіус інерції. Для KL/r нижче приблизно 120 (для сталі) домінує непружний вигин: матеріал починає текти раніше, ніж досягається теоретичне пружне навантаження вигину.

Парабола Джонсона й перехід до текучості

Парабола Джонсона апроксимує перехід між текучістю та пружним вигином. Для коефіцієнтів гнучкості нижче критичного значення C_c = √(2π²E/F_y) критичне напруження дорівнює:

F_кр  =  F_y · [ 1  -  (KL/r)² / (2·C_c²) ]

Вище C_c застосовується пружна формула Ейлера. Ця кусково-задана модель — основа проєктування сталевих колон за специфікаціями AISC. Симуляція забарвлює колону за станом напруження — пружний (синій), непружний (жовтий), текучий (червоний) — тож можна спостерігати перехід режиму руйнування при регулюванні гнучкості.

III. ПІД-регулятор — алгоритм, що керує світом

Пропорційно-інтегрально-диференціальне регулювання — найпоширеніший алгоритм у промисловій автоматизації. За оцінками, понад 90% контурів регулювання в переробній промисловості використовують ПІД. Сигнал керування:

u(t)  =  K_p · e(t)  +  K_i · ∫e(τ)dτ  +  K_d · de(t)/dt

де e(t) = r(t) - y(t) — похибка між заданим значенням r і виміряним виходом y. Пропорційний доданок реагує на поточну похибку. Інтегральний доданок усуває усталене зміщення, накопичуючи минулу похибку. Диференціальний доданок передбачає майбутню похибку, реагуючи на швидкість зміни — він діє як гальмо, демпфуючи перерегулювання.

Налаштування за Зіглером-Нікольсом і захист від накопичення

Класичний метод Зіглера-Нікольса налаштовує коефіцієнти ПІД експериментально: за активного лише пропорційного регулювання збільшуйте K_p, доки вихід системи не почне безперервно коливатися зі сталою амплітудою. Запишіть цей граничний коефіцієнт K_u і граничний період T_u. Потім установіть:

K_p  =  0.6 · K_u
T_i  =  0.5 · T_u       (тож K_i = K_p / T_i)
T_d  =  0.125 · T_u     (тож K_d = K_p · T_d)

Це дає відповідь замкненого контуру приблизно з 25% перерегулюванням і швидким встановленням. Для консервативнішого налаштування використовують методи Коена-Куна або IMC. Практична проблема, що завжди присутня, — це інтегральне накопичення (windup): коли об'єкт насичується (клапан не може відкритися більш ніж на 100%), інтегральний доданок продовжує накопичувати похибку, нарощуючи велике значення, яке потім спричиняє тривале перерегулювання, коли об'єкт виходить із насичення. Стратегії захисту від накопичення включають умовне інтегрування (припинити накопичення, коли вихід насичений) і зворотне обчислення (відняти насичення від інтеграла).

Симуляція з'єднує ПІД з об'єктом другого порядку, змодельованим як система маса-пружина-демпфер. Ви можете безпосередньо спостерігати перехід між надлишково демпфованою (повільна, без перерегулювання), недостатньо демпфованою (коливальна) та критично демпфованою (найшвидше встановлення без перерегулювання) відповідями, перетягуючи повзунки коефіцієнтів.

IV. 3D-маятник — режими Фуко, конічний і розетковий

Сферичний маятник має два ступені вільності — полярний кут θ від вертикалі та азимутальний кут φ навколо вертикалі — пов'язані обмеженням, що вантаж залишається на сфері радіуса L. Лагранжева формулювання, що відстежує кінетичну мінус потенціальну енергію, дає два зв'язані диференціальні рівняння другого порядку. Для малих амплітуд рух розкладається на два незалежні гармонічні осцилятори однакової частоти, тобто будь-яка початкова умова дає фігуру Ліссажу в горизонтальній площині: пряму лінію (плоский маятник), коло (конічний маятник) або еліпс (загальний випадок).

Прецесія Фуко та обертання Землі

Коли обертання Землі включене як доданок Коріоліса, видима площина коливань плоского маятника повільно прецесує. Швидкість прецесії залежить від широти φ:

ω_F  =  Ω · sin(φ)

де Ω = 7.27 × 10⁻⁵ рад/с — швидкість обертання Землі. На Північному полюсі (φ = 90°) площина коливань здійснює повний оберт за один зоряний день (23 год 56 хв). На широті Лондона (51.5°N) швидкість прецесії становить Ω · sin(51.5°) ≈ 5.68 × 10⁻⁵ рад/с, даючи період повного оберту близько 30.5 годин. Жан-Бернар-Леон Фуко підвісив 67-метровий маятник під куполом паризького Пантеону 1851 року й запросив публіку спостерігати, як пісок вимальовує на підлозі узор, що обертається — перша пряма візуальна демонстрація обертання Землі.

Симуляція стискає в часі обертання Землі до коефіцієнта 1000×, роблячи прецесію видимою за секунди. На середніх широтах шлях вимальовує характерний розетковий узор: послідовні коливання зміщуються на кут Фуко, утворюючи зорезразну фігуру, яка поступово заповнює площину.

V. Акустична лінза — фокусування хвиль FDTD

Метод кінцевих різниць у часовій області (FDTD) розв'язує хвильове рівняння, дискретизуючи і простір, і час на сітці. Для 2D-поля акустичного тиску p(x,y,t) у середовищі з локальною швидкістю хвилі c(x,y):

∂²p/∂t²  =  c(x,y)² · ∇²p

Схема FDTD використовує дискретизацію «стрибок жаби»: тиск і швидкість зберігаються на зміщених сітках, розділених половиною часового кроку. Ця схема другого порядку точності стійка, коли виконується умова Куранта-Фрідріхса-Леві (CFL): c·Δt/Δx ≤ 1/√2 у 2D. Порушення CFL спричиняє чисельну нестабільність — симуляція експоненційно розходиться.

Поглинальні межі Мура й проєктування лінзи

Граничні умови критично важливі у FDTD. Відбивні (жорсткі) стінки просто накладають ∂p/∂n = 0 на межі. Але відбиття від межі обчислювальної області спотворюють симуляції випромінювання. Поглинальна гранична умова Мура (1981) апроксимує вихідну хвилю як односторонньо спрямоване рівняння й застосовує його на краю сітки, поглинаючи 95–99% енергії, що падає, з мінімальними обчислювальними витратами — сучасніша альтернатива, ідеально узгоджений шар (PML), досягає майже ідеального поглинання, вводячи дисипативний градієнт у граничних комірках.

Акустична лінза з градієнтом показника заломлення працює, змінюючи c(x,y) по всій апертурі: повільніша швидкість хвилі в центрі, швидша по краях (або навпаки, залежно від типу лінзи). Повільніше поширювані центральні промені відстають від зовнішніх, вигинаючи хвильовий фронт у збіжну форму. Фокусна відстань підпорядковується акустичному аналогу рівняння виробника лінз. Зонні пластинки Френеля досягають подібного фокусування вибірковим блокуванням, а не заломленням: чергування кільцевих зон відкритої й заблокованої апертури спричиняє конструктивну інтерференцію у фокальній точці.